Номер 96, страница 175 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Олимпиадные задачи - номер 96, страница 175.

Условие.

О-96. Вне изолированной металлической незаряженной сферы радиусом R на расстоянии r от ее центра находится точечный заряд q. Каков потенциал сферы φ?

☑ $\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

Решение. Электрическое поле внутри сферы отсутствует. Следовательно, все точки в этой области имеют одинаковый потенциал, равный φ. Проще всего найти потенциал в центре сферы. Согласно принципу суперпозиции он складывается из потенциала $\varphi_1 = kq/r$ поля точечного заряда и суммы потенциалов, создаваемых всеми зарядами $\Delta q$, образовавшимися на сфере вследствие перераспределения зарядов:

$\varphi = \varphi_1 + \Sigma k \cdot \Delta q/R = \varphi_1 + (\Sigma \Delta q) \cdot k/R.$

Поскольку $\Sigma \Delta q = 0$ (сфера в целом не заряжена), $\varphi = \varphi_1 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.

Решение.

Дано:

Радиус металлической сферы: $R$

Суммарный заряд сферы: $Q_{сферы} = 0$

Точечный заряд: $q$

Расстояние от центра сферы до точечного заряда: $r$ ($r > R$)

Найти:

Потенциал сферы: $\phi$

Решение:

Когда незаряженная металлическая сфера помещается в электростатическое поле точечного заряда $q$, на ее поверхности происходит перераспределение свободных зарядов (электростатическая индукция). На части поверхности, ближней к заряду $q$, индуцируется заряд, противоположный по знаку $q$, а на дальней части — заряд, одноименный с $q$.

Поскольку сфера является проводником, в состоянии электростатического равновесия напряженность электрического поля внутри нее равна нулю ($E_{вн} = 0$). Это означает, что все точки внутри и на поверхности сферы имеют одинаковый потенциал. Таким образом, сфера является эквипотенциальной поверхностью, и ее потенциал $\phi$ можно найти, вычислив потенциал в любой удобной точке, например, в центре сферы.

Согласно принципу суперпозиции, потенциал в центре сферы равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых внешним точечным зарядом $q$ ($\phi_1$) и всеми индуцированными зарядами $\Delta q_i$, распределенными по поверхности сферы ($\phi_2$).

Потенциал $\phi_1$, создаваемый точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него (в центре сферы), равен:

$\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$

Потенциал $\phi_2$, создаваемый в центре сферы индуцированными зарядами $\Delta q_i$, находящимися на ее поверхности, равен:

$\phi_2 = \sum_i \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\Delta q_i}{R}$

Так как все индуцированные заряды находятся на одинаковом расстоянии $R$ от центра, можно вынести постоянный множитель за знак суммы:

$\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 R} \sum_i \Delta q_i$

По условию, сфера изначально была не заряжена, поэтому суммарный индуцированный заряд на ее поверхности равен нулю:

$\sum_i \Delta q_i = 0$

Следовательно, потенциал, создаваемый индуцированными зарядами в центре сферы, также равен нулю:

$\phi_2 = 0$

Тогда полный потенциал в центре сферы, который и является потенциалом всей сферы $\phi$, равен:

$\phi = \phi_1 + \phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r} + 0 = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$

Ответ: Потенциал сферы равен $\phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$.