Номер 24.10, страница 175 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.10, страница 175.

Условие.

24.10. Металлический шар радиусом $R_1$, заряженный до потенциала $\varphi_1$, окружают концентрической с ним тонкой проводящей сферической оболочкой радиусом $R_2$. Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой? Если соединить оболочку с Землей, не соединяя ее с шаром?

☑ $\varphi_1 R_1 / R_2$; $\varphi_1 (1 - R_1 / R_2)$.

Решение. Заряд $\text{Q}$ шара можно найти из соотношения $\varphi_1 = kQ/R_1$. После соединения с оболочкой весь заряд перейдет на ее внешнюю поверхность, в результате чего проводники приобретут потенциал $\varphi_2 = kQ/R_2 = \varphi_1 R_1/R_2$. Если оболочку заземлить (не соединяя ее с шаром), то она получит от Земли такой отрицательный заряд $\text{q}$, что ее потенциал обратится в нуль. Значит, $q = -Q$ (при этом система электрически нейтральна и не создает поля снаружи). Появившийся на оболочке заряд $\text{q}$ изменяет потенциал оболочки (и шара) на $kq/R_2 = -\varphi_1 R_1/R_2$. Тогда согласно принципу суперпозиции потенциал шара равен $\varphi_1 (1 - R_1/R_2)$.

Решение.

Дано:

Радиус металлического шара: $R_1$

Начальный потенциал шара: $\phi_1$

Радиус концентрической проводящей оболочки: $R_2$ ($R_2 > R_1$)

Найти:

$\phi_2$ — потенциал шара после соединения с оболочкой.

$\phi'_1$ — потенциал шара после заземления оболочки.

Решение:

Потенциал уединенного заряженного шара радиусом $R_1$ связан с его зарядом $Q$ соотношением:

$\phi_1 = \frac{kQ}{R_1}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Из этой формулы мы можем выразить начальный заряд шара:

$Q = \frac{\phi_1 R_1}{k}$

Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой?

При соединении шара и оболочки проводником они образуют единый проводник. В состоянии электростатического равновесия весь избыточный заряд перемещается на внешнюю поверхность проводника. В данном случае весь заряд $Q$ с шара перейдет на внешнюю поверхность сферической оболочки радиусом $R_2$.

Потенциал всех точек этого нового единого проводника (включая и шар, и оболочку) будет одинаков и равен потенциалу на его внешней поверхности. Таким образом, новый потенциал $\phi_2$ будет равен потенциалу сферы радиусом $R_2$ с зарядом $Q$:

$\phi_2 = \frac{kQ}{R_2}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для заряда $Q$:

$\phi_2 = k \frac{(\frac{\phi_1 R_1}{k})}{R_2} = \phi_1 \frac{R_1}{R_2}$

Ответ: $\phi_1 \frac{R_1}{R_2}$

Каким станет потенциал шара, если соединить оболочку с Землей, не соединяя ее с шаром?

В этом случае шар не соединен с оболочкой и сохраняет свой первоначальный заряд $Q$. Оболочка заземлена, что означает, что ее потенциал равен потенциалу Земли, то есть нулю ($\phi_{об} = 0$).

Потенциал на поверхности оболочки создается двумя зарядами: зарядом $Q$ внутреннего шара и индуцированным на оболочке зарядом $q$, который пришел из Земли. По принципу суперпозиции:

$\phi_{об} = \phi_{от\;Q} + \phi_{от\;q} = \frac{kQ}{R_2} + \frac{kq}{R_2} = 0$

Из этого условия находим величину индуцированного заряда $q$:

$\frac{k(Q+q)}{R_2} = 0 \implies q = -Q$

Теперь найдем новый потенциал шара $\phi'_1$. Он также складывается из потенциала, создаваемого собственным зарядом $Q$ шара, и потенциала, создаваемого зарядом $q$ на оболочке. Потенциал в любой точке внутри заряженной сферы (в т.ч. на поверхности внутреннего шара) постоянен и равен потенциалу на поверхности этой сферы.

$\phi'_1 = \phi_{от\;Q} + \phi_{от\;q} = \frac{kQ}{R_1} + \frac{kq}{R_2}$

Подставим значение $q = -Q$:

$\phi'_1 = \frac{kQ}{R_1} - \frac{kQ}{R_2} = kQ \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Вспомним, что начальный потенциал шара был $\phi_1 = \frac{kQ}{R_1}$, откуда $kQ = \phi_1 R_1$. Подставим это выражение:

$\phi'_1 = \phi_1 R_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \phi_1 \left( \frac{R_1}{R_1} - \frac{R_1}{R_2} \right) = \phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$

Ответ: $\phi_1 \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right)$