Номер 102, страница 179 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 102, страница 179.

Условие.

O02. Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды q, расположенные вдоль одной прямой так, что расстояние между соседними шариками равно a. Какую работу A нужно совершить, чтобы разместить эти шарики: а) в вершинах квадрата со стороной a; б) в вершинах тетраэдра с ребром a?

☑ $\frac{q^2 (3\sqrt{2})}{12\pi\varepsilon_0 a}; \frac{5q^2}{12\pi\varepsilon_0 a}$

Решение. Работа A внешних сил равна изменению потенциальной энергии системы. Потенциальная энергия системы точечных зарядов равна сумме энергий взаимодействия всех пар зарядов. Для четырех зарядов таких пар шесть (см. рисунок). При линейном расположении зарядов расстояния между ними в трех парах равны a, в двух равны 2a и в одной равны 3a. Поэтому начальная энергия системы $W_{po} = 3 \cdot kq^2/a + 2 \cdot kq^2/(2a) + kq^2/(3a) = 13kq^2/(3a)$.

При размещении зарядов в вершинах квадрата четыре расстояния в парах равны a и два равны $a\sqrt{2}$. Поэтому $W_p = k\frac{q^2}{a}(4+\sqrt{2})$ и $A = W_p - W_{po} = \frac{q^2 (3\sqrt{2})}{12\pi\varepsilon_0 a}$.

При размещении зарядов в вершинах тетраэдра все расстояния между зарядами равны a; следовательно, $W_p = 6kq^2/a$ и $A = \frac{5q^2}{12\pi\varepsilon_0 a}$.

Решение.

Дано

Количество шариков: $N=4$
Заряд каждого шарика: $q$
Начальное расположение: вдоль одной прямой
Расстояние между соседними шариками: $a$

Все величины даны в общем виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

а) Работу $A_a$ по размещению шариков в вершинах квадрата со стороной $a$.
б) Работу $A_b$ по размещению шариков в вершинах тетраэдра с ребром $a$.

Решение

Работа $A$ внешних сил по перемещению зарядов равна изменению потенциальной энергии системы этих зарядов:$A = W_{p_{конечная}} - W_{p_{начальная}}$.Потенциальная энергия системы из $N$ точечных зарядов равна сумме потенциальных энергий взаимодействия всех возможных пар зарядов. Для четырех зарядов существует $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ пар.Энергия взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, равна $W_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r}$. В нашем случае все заряды одинаковы и равны $q$, поэтому энергия одной пары $W_{пара} = k \frac{q^2}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Сначала найдем начальную потенциальную энергию системы ($W_{p_{начальная}}$), когда шарики расположены на одной прямой на расстоянии $a$ друг от друга. Пронумеруем шарики от 1 до 4.

Расстояния между парами зарядов:

• 3 пары соседних зарядов (1-2, 2-3, 3-4) на расстоянии $a$.
• 2 пары зарядов "через один" (1-3, 2-4) на расстоянии $2a$.
• 1 пара крайних зарядов (1-4) на расстоянии $3a$.

Начальная потенциальная энергия системы:$W_{p_{начальная}} = 3 \cdot k\frac{q^2}{a} + 2 \cdot k\frac{q^2}{2a} + 1 \cdot k\frac{q^2}{3a} = k\frac{q^2}{a} \left(3 + \frac{2}{2} + \frac{1}{3}\right) = k\frac{q^2}{a} \left(4 + \frac{1}{3}\right) = \frac{13}{3} k\frac{q^2}{a}$.

а) Размещение шариков в вершинах квадрата со стороной $a$.

В этом случае расстояния между парами зарядов будут следующими:

• 4 пары зарядов на сторонах квадрата на расстоянии $a$.
• 2 пары зарядов на диагоналях квадрата на расстоянии $a\sqrt{2}$.

Конечная потенциальная энергия системы ($W_{p_{квадрат}}$):$W_{p_{квадрат}} = 4 \cdot k\frac{q^2}{a} + 2 \cdot k\frac{q^2}{a\sqrt{2}} = k\frac{q^2}{a}(4 + \sqrt{2})$.

Работа $A_a$, которую нужно совершить:$A_a = W_{p_{квадрат}} - W_{p_{начальная}} = k\frac{q^2}{a}(4 + \sqrt{2}) - \frac{13}{3} k\frac{q^2}{a} = k\frac{q^2}{a} \left(4 + \sqrt{2} - \frac{13}{3}\right) = k\frac{q^2}{a} \left(\frac{12 + 3\sqrt{2} - 13}{3}\right) = k\frac{q^2}{a} \frac{3\sqrt{2}-1}{3}$.

Подставим значение $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:$A_a = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a} \frac{3\sqrt{2}-1}{3} = \frac{q^2(3\sqrt{2}-1)}{12\pi\epsilon_0 a}$.

Ответ: $A_a = \frac{q^2(3\sqrt{2}-1)}{12\pi\epsilon_0 a}$.

б) Размещение шариков в вершинах тетраэдра с ребром $a$.

Правильный тетраэдр имеет 4 вершины и 6 ребер одинаковой длины. Если заряды расположены в вершинах тетраэдра с ребром $a$, то расстояние между любой парой зарядов будет равно $a$.

Конечная потенциальная энергия системы ($W_{p_{тетраэдр}}$):$W_{p_{тетраэдр}} = 6 \cdot k\frac{q^2}{a}$.

Работа $A_b$, которую нужно совершить:$A_b = W_{p_{тетраэдр}} - W_{p_{начальная}} = 6 k\frac{q^2}{a} - \frac{13}{3} k\frac{q^2}{a} = k\frac{q^2}{a} \left(6 - \frac{13}{3}\right) = k\frac{q^2}{a} \left(\frac{18 - 13}{3}\right) = \frac{5}{3} k\frac{q^2}{a}$.

Подставим значение $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:$A_b = \frac{5}{3} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a} = \frac{5q^2}{12\pi\epsilon_0 a}$.

Ответ: $A_b = \frac{5q^2}{12\pi\epsilon_0 a}$.