Номер 97, страница 176 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 97, страница 176.

Условие.

О-97. Проводящий шар радиусом R соединен тонкой длинной проволокой с землей. На расстоянии r от его центра размещают положительный точечный заряд q. Какой заряд Q приобретет шар? Влиянием проволоки на поле можно пренебречь.

☑ $Q = -qR/r$.

Решение. Потенциал заземленного шара должен остаться равным нулю. Это обеспечивается перетеканием на него отрицательного заряда Q. Из условия $kq/r + kQ/R = 0$ (см. задачу О-96) получаем $Q = -qR/r$.

Решение.

Дано:

Проводящий шар радиусом $R$.
Шар соединен с землей (заземлен).
Точечный положительный заряд $q$.
Расстояние от центра шара до заряда $q$ равно $r$ (причем $r > R$).

Найти:

Заряд $Q$, который приобретает шар.

Решение:

Поскольку проводящий шар соединен с землей, его потенциал равен потенциалу земли, который условно принимается равным нулю. Таким образом, потенциал шара $\phi_{шара} = 0$.

Проводник в состоянии электростатического равновесия является эквипотенциальным телом. Это означает, что потенциал во всех точках внутри и на поверхности шара одинаков и равен нулю. Следовательно, потенциал в центре шара также равен нулю ($\phi_{центр} = 0$).

Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал в центре шара является алгебраической суммой потенциалов, создаваемых внешним точечным зарядом $q$ и индуцированным на шаре зарядом $Q$.

1. Потенциал, создаваемый точечным зарядом $q$ в центре шара, находящемся на расстоянии $r$ от заряда, равен:

$\phi_q = k \frac{q}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

2. Потенциал, создаваемый зарядом $Q$, который распределяется по поверхности шара. Потенциал поля внутри заряженной проводящей сферы постоянен и равен потенциалу на её поверхности. Таким образом, потенциал в центре шара, создаваемый зарядом $Q$, равен:

$\phi_Q = k \frac{Q}{R}$.

Суммарный потенциал в центре шара должен быть равен нулю:

$\phi_{центр} = \phi_q + \phi_Q = 0$

$k \frac{q}{r} + k \frac{Q}{R} = 0$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $Q$:

$k \frac{Q}{R} = -k \frac{q}{r}$

Сократив на $k$, получим:

$\frac{Q}{R} = -\frac{q}{r}$

$Q = -q \frac{R}{r}$

Знак "минус" в результате означает, что индуцированный на шаре заряд $Q$ противоположен по знаку внешнему заряду $q$. Так как по условию заряд $q$ положительный, шар приобретет отрицательный заряд, "притянув" электроны из земли.

Ответ:

$Q = -q\frac{R}{r}$.