Номер 100, страница 177 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 100, страница 177.

Условие.

O00. Два одинаковых металлических шара радиусом $\text{R}$, находящихся далеко друг от друга, соединены тонким изолированным проводом. Каждый из шаров имеет заряд $\text{Q}$ и окружен концентрической с ним тонкой незаряженной проводящей сферической оболочкой. Радиус одной оболочки равен $R + a$, радиус другой оболочки $R + b$, причем $a \ll R$, $b \ll R$. Какой заряд $\text{q}$ пройдет по проводу, если обе оболочки заземлить?

☑ $|q| = Q \left| \frac{b-a}{b+a} \right|$.

Решение. Шары имеют одинаковые потенциалы. До заземления тонкие незаряженные оболочки не влияли на вид поля. После заземления потенциалы сферических оболочек становятся равными нулю. Поле в тонких зазорах между шарами и оболочками можно считать однородным, его напряженность у одного шара $E_1 = k(Q + q)/R^2$, а у другого $E_2 = k(Q - q)/R^2$.

Потенциалы шаров найдем из соотношений $\varphi_1 - 0 = E_1 a$, $\varphi_2 - 0 = E_2 b$. Приравняв $\varphi_1$ и $\varphi_2$, найдем $q = Q \frac{b-a}{b+a}$. При $b > a$ заряд перетекает к первому шару, при $b < a$ — ко второму.

Решение.

Дано:

Радиус двух одинаковых металлических шаров: $R$
Начальный заряд каждого шара: $Q$
Радиус первой сферической оболочки: $R_1 = R + a$
Радиус второй сферической оболочки: $R_2 = R + b$
Условия малости зазоров: $a \ll R$, $b \ll R$

Найти:

Заряд $q$, который пройдет по проводу.

Решение:

Изначально два одинаковых шара с одинаковыми зарядами $Q$ соединены проводом, поэтому их потенциалы равны. Они окружены незаряженными оболочками, которые не влияют на внешнее поле и потенциалы друг друга, так как шары находятся далеко друг от друга.

После того как обе проводящие оболочки заземляют, их потенциалы становятся равными нулю. Поскольку шары соединены проводом, их потенциалы также должны оставаться равными друг другу. Однако из-за разницы в размерах зазоров ($a$ и $b$) между шарами и их оболочками, емкости двух образовавшихся сферических конденсаторов (шар-оболочка) будут различны. Это приведет к перераспределению общего заряда $2Q$ между шарами до тех пор, пока их потенциалы не выровняются.

Пусть по проводу от второго шара к первому перетекает заряд $q$. Тогда новые заряды на шарах будут:

Заряд первого шара: $Q_1 = Q + q$

Заряд второго шара: $Q_2 = Q - q$

Найдем потенциал каждого шара относительно заземленной оболочки. Потенциал заземленной оболочки равен нулю. Разность потенциалов между шаром и концентрической ему оболочкой определяется выражением:

$\Delta\phi = \phi_{шара} - \phi_{оболочки} = \phi_{шара} - 0 = \phi_{шара}$

Эту разность потенциалов можно рассчитать через интеграл от напряженности электрического поля в зазоре. Для первого шара:

$\phi_1 = \int_R^{R+a} E_1(r) dr = \int_R^{R+a} k \frac{Q_1}{r^2} dr = k Q_1 \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+a} \right) = k Q_1 \frac{a}{R(R+a)}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Поскольку по условию $a \ll R$, то $R+a \approx R$. Тогда выражение для потенциала упрощается:

$\phi_1 \approx k \frac{Q_1 a}{R^2} = k \frac{(Q+q)a}{R^2}$

Этот результат также можно получить, если считать поле в узком зазоре однородным и равным полю на поверхности шара $E_1 \approx k Q_1/R^2$, тогда $\phi_1 \approx E_1 \cdot a$.

Аналогично для второго шара с зазором $b$:

$\phi_2 \approx k \frac{Q_2 b}{R^2} = k \frac{(Q-q)b}{R^2}$

Так как шары соединены проводником, их потенциалы в установившемся состоянии должны быть равны:

$\phi_1 = \phi_2$

$k \frac{(Q+q)a}{R^2} = k \frac{(Q-q)b}{R^2}$

Сократив общие множители $k$ и $R^2$, получим:

$(Q+q)a = (Q-q)b$

$Qa + qa = Qb - qb$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $q$:

$qa + qb = Qb - Qa$

$q(a+b) = Q(b-a)$

$q = Q \frac{b-a}{a+b}$

Это и есть заряд, который пройдет по проводу. Знак $q$ показывает направление перетекания заряда. Если $b>a$, то $q>0$, и заряд течет от второго шара к первому. Если $b

Ответ: Заряд, который пройдет по проводу, равен по модулю $|q|=Q\frac{|b-a|}{a+b}$.