Номер 25.3, страница 181 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Упражнения - номер 25.3, страница 181.

Условие.

25.3. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения U. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в каждом из конденсаторов, если один из них заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$?

☑ В конденсаторе, заполненном диэлектриком, уменьшится в $(\varepsilon+1)/2$ раз, в незаполненном — увеличится в $2\varepsilon/(\varepsilon+1)$ раз.

Решение. Обозначим первоначальную емкость каждого конденсатора через $C_1$. Начальное напряжение на каждом конденсаторе было равно $U/2$. Заполнение диэлектриком увеличило емкость первого конденсатора в $\varepsilon$ раз. Емкость же батареи конденсаторов стала $C = \frac{\varepsilon C_1 \cdot C_1}{\varepsilon C_1 + C_1} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon+1} C_1$.

Заряд батареи (и каждого из конденсаторов) $q = UC = \frac{\varepsilon}{\varepsilon+1}UC_1$. Напряжение на конденсаторе, заполненном диэлектриком, составляет $U_1 = \frac{q}{\varepsilon C_1} = \frac{U}{\varepsilon+1}$, т. е. уменьшилось в $\frac{\varepsilon+1}{2}$ раз. Во столько же раз уменьшилась и напряженность электрического поля в этом конденсаторе. Напряжение на конденсаторе, не заполненном диэлектриком, составляет $U_2 = \frac{q}{C_1} = \frac{\varepsilon U}{\varepsilon+1}$. Оно увеличилось в $\frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1}$ раз по сравнению с первоначальным. Во столько же раз увеличилась и напряженность электрического поля в этом конденсаторе.

Решение.

Дано:

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора.

Источник постоянного напряжения: $U$.

Соединение: последовательное.

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика: $\varepsilon$.

Найти:

Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в каждом из конденсаторов.

Решение:

Обозначим начальную емкость каждого из одинаковых воздушных конденсаторов как $C_0$.

1. Начальное состояние (до заполнения диэлектриком).

Конденсаторы соединены последовательно, и их емкости одинаковы. Следовательно, напряжение источника $U$ делится между ними поровну. Начальное напряжение на каждом конденсаторе:

$U_0 = \frac{U}{2}$

Напряженность электрического поля $E$ в плоском конденсаторе прямо пропорциональна напряжению $U$ на его обкладках: $E = U/d$, где $d$ — расстояние между обкладками. Так как $d$ не меняется, то во сколько раз меняется напряжение, во столько же раз меняется и напряженность.

Начальная напряженность поля в каждом конденсаторе:

$E_0 = \frac{U_0}{d} = \frac{U}{2d}$

2. Конечное состояние (после заполнения одного конденсатора диэлектриком).

Пусть первый конденсатор заполнили диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Его емкость увеличилась в $\varepsilon$ раз и стала:

$C_1 = \varepsilon C_0$

Емкость второго конденсатора осталась прежней:

$C_2 = C_0$

Конденсаторы по-прежнему соединены последовательно. Найдем их общую емкость $C_{общ}$:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{\varepsilon C_0} + \frac{1}{C_0} = \frac{1 + \varepsilon}{\varepsilon C_0}$

$C_{общ} = \frac{\varepsilon C_0}{\varepsilon + 1}$

Так как цепь подключена к источнику с напряжением $U$, то общий заряд на батарее конденсаторов (и на каждом из них) равен:

$q = C_{общ} U = \frac{\varepsilon C_0 U}{\varepsilon + 1}$

Теперь найдем новые напряжения на каждом конденсаторе:

Напряжение на первом конденсаторе (с диэлектриком):

$U_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{\frac{\varepsilon C_0 U}{\varepsilon + 1}}{\varepsilon C_0} = \frac{U}{\varepsilon + 1}$

Напряжение на втором конденсаторе (воздушном):

$U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{\frac{\varepsilon C_0 U}{\varepsilon + 1}}{C_0} = \frac{\varepsilon U}{\varepsilon + 1}$

3. Сравнение напряженностей полей.

Сравним конечные напряжения $U_1$ и $U_2$ с начальным напряжением $U_0 = U/2$, чтобы найти, во сколько раз изменилась напряженность поля.

Для конденсатора, заполненного диэлектриком:

Найдем отношение начального напряжения к конечному, чтобы определить, во сколько раз оно уменьшилось:

$\frac{U_0}{U_1} = \frac{U/2}{U/(\varepsilon + 1)} = \frac{\varepsilon + 1}{2}$

Так как $E$ пропорционально $U$, напряженность электрического поля уменьшилась в $\frac{\varepsilon + 1}{2}$ раз.

Для конденсатора, оставшегося воздушным:

Найдем отношение конечного напряжения к начальному, чтобы определить, во сколько раз оно увеличилось:

$\frac{U_2}{U_0} = \frac{\varepsilon U / (\varepsilon + 1)}{U/2} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon + 1}$

Так как $E$ пропорционально $U$, напряженность электрического поля увеличилась в $\frac{2\varepsilon}{\varepsilon + 1}$ раз.

Ответ: В конденсаторе, заполненном диэлектриком, напряженность электрического поля уменьшится в $\frac{\varepsilon+1}{2}$ раз, а в незаполненном (воздушном) конденсаторе — увеличится в $\frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1}$ раз.