Номер 25.9, страница 184 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Упражнения - номер 25.9, страница 184.

Условие.

25.9. Найдите заряды на каждом из конденсаторов в цепи, изображенной на рисунке, если $C_1 = 2 \text{ мкФ}$, $C_2 = 4 \text{ мкФ}$, $C_3 = 6 \text{ мкФ}$, $\mathcal{E} = 18 \text{ В}.$

$q_1 = 30 \text{ мкКл}$, $q_2 = 12 \text{ мкКл}$, $q_3 = 18 \text{ мкКл}.

Решение. Найдем полную электрическую емкость $\text{C}$

Решение. Найдем полную электрическую емкость $\text{C}$ системы конденсаторов. Емкость соединенных параллельно конденсаторов 2 и 3 составляет $C_{23} = C_2 + C_3$. Этот участок соединен последовательно с конденсатором 1, поэтому:

$C = \frac{C_1C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3}$

Полный заряд этой батареи конденсаторов равен $q = \mathcal{E}C = 30 \text{ мкКл}$. Именно таков заряд конденсатора 1 и батареи конденсаторов 2-3. Чтобы найти распределение этого заряда между конденсаторами 2 и 3, проще всего определить напряжение на них:

$U_2 = U_3 = q / C_{23} = \frac{\mathcal{E}C_1}{C_1 + C_2 + C_3} = 3 \text{ (В)}$

Отсюда $q_2 = U_2C_2 = 12 \text{ (мкКл)}$, $q_3 = U_3C_3 = 18 \text{ (мкКл)}$.

Решение.

Дано

$C_1 = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$C_2 = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$C_3 = 6 \text{ мкФ} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$\mathcal{E} = 18 \text{ В}$

Найти:

$q_1, q_2, q_3$

Решение

В данной схеме конденсаторы $C_2$ и $C_3$ соединены параллельно, а конденсатор $C_1$ соединен последовательно с этой группой.

1. Найдем эквивалентную емкость параллельно соединенных конденсаторов $C_2$ и $C_3$. При параллельном соединении емкости складываются:

$C_{23} = C_2 + C_3 = 4 \text{ мкФ} + 6 \text{ мкФ} = 10 \text{ мкФ}$

2. Теперь схема представляет собой последовательное соединение конденсаторов $C_1$ и $C_{23}$. Найдем общую эквивалентную емкость цепи $C$:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}}$

$C = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{2 \text{ мкФ} \cdot 10 \text{ мкФ}}{2 \text{ мкФ} + 10 \text{ мкФ}} = \frac{20}{12} \text{ мкФ} = \frac{5}{3} \text{ мкФ}$

3. Найдем общий заряд, который пройдет через источник питания. Этот заряд будет равен заряду на эквивалентном конденсаторе $C$:

$q = C \cdot \mathcal{E} = \frac{5}{3} \text{ мкФ} \cdot 18 \text{ В} = 30 \text{ мкКл}$

4. При последовательном соединении заряд на каждом элементе цепи одинаков. Значит, заряд на конденсаторе $C_1$ и на группе конденсаторов $C_{23}$ равен общему заряду $q$:

$q_1 = q = 30 \text{ мкКл}$

5. Теперь найдем заряды на конденсаторах $C_2$ и $C_3$. Для этого сначала определим напряжение на участке с параллельным соединением $U_{23}$.

$U_{23} = \frac{q}{C_{23}} = \frac{30 \text{ мкКл}}{10 \text{ мкФ}} = 3 \text{ В}$

При параллельном соединении напряжение на каждом конденсаторе одинаково:

$U_2 = U_3 = U_{23} = 3 \text{ В}$

6. Зная напряжение на каждом из конденсаторов $C_2$ и $C_3$, можем найти их заряды:

$q_2 = C_2 \cdot U_2 = 4 \text{ мкФ} \cdot 3 \text{ В} = 12 \text{ мкКл}$

$q_3 = C_3 \cdot U_3 = 6 \text{ мкФ} \cdot 3 \text{ В} = 18 \text{ мкКл}$

Проверим, что сумма зарядов $q_2$ и $q_3$ равна заряду $q_1$, так как заряд, вошедший в узел, равен сумме зарядов, вышедших из него:

$q_2 + q_3 = 12 \text{ мкКл} + 18 \text{ мкКл} = 30 \text{ мкКл} = q_1$. Расчеты верны.

Ответ: $q_1 = 30 \text{ мкКл}$, $q_2 = 12 \text{ мкКл}$, $q_3 = 18 \text{ мкКл}$.