Номер 104, страница 185 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 104, страница 185.

Условие.

O04. Найдите емкость $C_0$ показанной на рисунке батареи конденсаторов.

☑ $C_0 = 6C.$

Решение. Данная цепь не содержит ни последовательных, ни параллельных соединений. На первый взгляд, в ней отсутствует и симметрия между верхней и нижней ветвями цепи. Заметим, однако, что емкости конденсаторов нижней ветви вдвое больше соответствующих емкостей верхней ветви. Докажем, что если изъять конденсатор-«перемычку», то из соотношения $C_1/C_2 = C_3/C_4$ (см. рисунок к условию задачи О03) следует равенство потенциалов точек $\text{D}$ и $\text{E}$. В самом деле, распределение напряжений в ветвях цепи описывается уравнениями $U_1/U_2 = C_2/C_1$ и $U_3/U_4 = C_4/C_3$, откуда $U_1/U_2 = U_3/U_4$. Поскольку $U_1 + U_2 = U_3 + U_4$, получаем $U_1 = U_3$ (это можно доказать и иначе, см. задачу 12.52). Согласно соотношениям $U_1 = \varphi_D - \varphi_A$ и $U_3 = \varphi_E - \varphi_A$, отсюда следует, что $\varphi_D = \varphi_E$. Следовательно, возвращение в цепь конденсатора-«перемычки» ничего не изменит: заряжаться он не будет. Теперь подсчет $C_0$ несложен:

$C_{12} = \frac{3C \cdot 6C}{3C + 6C} = 2C$, $C_{34} = \frac{6C \cdot 12C}{6C + 12C} = 4C$, $C_0 = C_{12} + C_{34} = 6C.$

Решение.

Дано:

$C_{AD} = 3C$
$C_{DB} = 6C$
$C_{AE} = 6C$
$C_{EB} = 12C$
$C_{DE} = 6C$

Найти:

$C_0$

Решение:

Данная схема представляет собой мостовое соединение конденсаторов, известное как мост Уитстона. Для нахождения общей емкости сначала проверим условие баланса моста. Мост считается сбалансированным, если выполняется равенство отношений емкостей в его плечах: $$ \frac{C_{AD}}{C_{DB}} = \frac{C_{AE}}{C_{EB}} $$ Подставим в формулу значения емкостей из условия: $$ \frac{3C}{6C} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{6C}{12C} = \frac{1}{2} $$ Поскольку равенство $1/2 = 1/2$ верно, мост является сбалансированным.

В сбалансированном мосте потенциалы в точках D и E одинаковы ($ \phi_D = \phi_E $). Следовательно, разность потенциалов между этими точками равна нулю, и на конденсаторе $C_{DE}$, который соединяет эти точки, отсутствует заряд. Это означает, что данный конденсатор можно исключить из схемы, так как он не оказывает влияния на общую емкость.

После удаления конденсатора $C_{DE}$ схема упрощается и представляет собой две параллельные ветви.
Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{AD}$ и $C_{DB}$.
Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{AE}$ и $C_{EB}$.

Вычислим эквивалентную емкость верхней ветви ($C_{верх}$): $$ C_{верх} = \frac{C_{AD} \cdot C_{DB}}{C_{AD} + C_{DB}} = \frac{3C \cdot 6C}{3C + 6C} = \frac{18C^2}{9C} = 2C $$

Вычислим эквивалентную емкость нижней ветви ($C_{ниж}$): $$ C_{ниж} = \frac{C_{AE} \cdot C_{EB}}{C_{AE} + C_{EB}} = \frac{6C \cdot 12C}{6C + 12C} = \frac{72C^2}{18C} = 4C $$

Общая емкость $C_0$ всей батареи равна сумме емкостей параллельно соединенных ветвей: $$ C_0 = C_{верх} + C_{ниж} = 2C + 4C = 6C $$

Ответ: $C_0 = 6C$.