Номер 106, страница 186 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 106, страница 186.

Условие.

O06. Пять точек соединены попарно конденсаторами емкости $\text{C}$. Какова емкость $C_0$ между любыми двумя из этих точек? Каким будет ответ для произвольного числа точек $\text{n}$?

☑ $ C_0 = 2,5 C$, $C_0 = nC/2$.

Решение. Попробуем упростить схему до того, как станем ее изображать. Учтем, что те три точки, к которым не подключена внешняя цепь, «взаимозаменяемы»; следовательно, их потенциалы одинаковы. Включенные между этими точками конденсаторы не заряжены и могут быть изъяты из цепи.

Заряжены, таким образом, лишь семь конденсаторов (см. рисунок). Емкость каждой из трех одинаковых ветвей цепи равна $C/2$, а полная емкость системы $C_0 = 3 \cdot C/2 + C = 2,5C$. Аналогичный расчет показывает, что при произвольном числе точек $C_0 = nC/2$.

Решение.

Дано:

Число точек: $n$

Емкость конденсатора между любой парой точек: $C$

Найти:

Эквивалентную емкость $C_0$ между любыми двумя точками.

Решение:

Разобьем решение на два случая, как предложено в задаче.

Емкость $C_0$ между любыми двумя из пяти точек

Пусть у нас есть 5 точек, и мы хотим найти эквивалентную емкость между двумя из них, назовем их А и В. К этим точкам подключается внешняя цепь.

Оставшиеся три точки (назовем их P1, P2, P3) находятся в симметричных условиях по отношению к точкам А и В. Это означает, что их электрические потенциалы будут одинаковы: $$ \phi_{P1} = \phi_{P2} = \phi_{P3} $$

Поскольку разность потенциалов между точками P1, P2 и P3 равна нулю, конденсаторы, соединяющие эти точки между собой, не будут заряжаться, и ток через них протекать не будет. Следовательно, эти конденсаторы ($C_{P1P2}$, $C_{P1P3}$, $C_{P2P3}$) можно исключить из схемы, не изменяя ее общую емкость.

После этого упрощения эквивалентная схема между точками А и В будет состоять из нескольких параллельно соединенных ветвей:

1. Один конденсатор емкостью $C$, напрямую соединяющий точки А и В.

2. Три одинаковые ветви, проходящие через точки P1, P2 и P3. Каждая ветвь (например, A–P1–B) состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов ($C_{AP1}$ и $C_{P1B}$), каждый емкостью $C$. Емкость одной такой ветви равна: $$ C_{ветвь} = \left(\frac{1}{C} + \frac{1}{C}\right)^{-1} = \left(\frac{2}{C}\right)^{-1} = \frac{C}{2} $$

Так как эти три ветви соединены параллельно, их общая емкость будет равна сумме их емкостей: $$ C_{3ветви} = 3 \cdot C_{ветвь} = 3 \cdot \frac{C}{2} = 1.5C $$

Полная эквивалентная емкость $C_0$ — это сумма емкостей прямого конденсатора и блока из трех ветвей, так как они соединены параллельно: $$ C_0 = C + C_{3ветви} = C + \frac{3C}{2} = \frac{2C + 3C}{2} = \frac{5C}{2} = 2.5C $$

Ответ: $C_0 = 2.5C$

Ответ для произвольного числа точек n

Применим тот же метод для общего случая с $n$ точками. Выберем две точки А и В для подключения.

Остальные $n-2$ точек будут находиться в симметричных условиях, и их потенциалы будут равны. Конденсаторы между этими $n-2$ точками можно исключить из схемы.

Эквивалентная схема будет состоять из следующих параллельных соединений между А и В:

1. Один прямой конденсатор емкостью $C$.

2. $n-2$ одинаковых ветвей, каждая из которых проходит через одну из оставшихся точек. Емкость каждой такой ветви, состоящей из двух последовательных конденсаторов по $C$, равна $C/2$.

Общая емкость всех $n-2$ параллельных ветвей будет: $$ C_{(n-2)ветвей} = (n-2) \cdot \frac{C}{2} $$

Полная эквивалентная емкость $C_0$ равна сумме емкостей прямого конденсатора и всех остальных ветвей: $$ C_0 = C + (n-2) \frac{C}{2} = \frac{2C + (n-2)C}{2} = \frac{2C + nC - 2C}{2} = \frac{nC}{2} $$

Таким образом, для произвольного числа точек $n$ эквивалентная емкость между любыми двумя точками равна $nC/2$.

Ответ: $C_0 = \frac{nC}{2}$