Номер 107, страница 186 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 107, страница 186.

Условие.

О07. В цепи (см. рисунок) емкость каждого конденсатора равна С. Вначале ключ разомкнут, конденсатор 1 заряжен до напряжения $U_0$, остальные конденсаторы не заряжены. Найдите напряжение на каждом из конденсаторов после замыкания ключа.

☑ $U_1 = 5U_0/8, U_2 = 3U_0/8, U_3 = U_0/4, U_4 = U_5 = U_0/8, U_6 = 0.$

Решение. Обкладки конденсатора 6 соединены накоротко, поэтому у них равные потенциалы. Этот конденсатор не заряжен ($U_6 = 0$) и потому может быть изъят из цепи.

Тогда $C_{45} = C/2, C_{345} = 3C/2$ и $C_{2345} = \frac{C \cdot 1,5C}{C + 1,5C} = \frac{3}{5}C.$ После замыкания ключа имевшийся на первом конденсаторе заряд $CU_0$ распределится между этим конденсатором и батареей конденсаторов 2-3-4-5, так что $CU_0 = (C + C_{2345})U_1$, откуда $U_1 = 5U_0/8.$ Заряд батареи 2-3-4-5 (и конденсатора 2) равен $C_{2345}U_1 = 3CU_0/8.$

Следовательно, $U_2 = q_2/C = 3U_0/8, U_3 = U_1 - U_2 = U_0/4$ и $U_4 = U_5 = U_0/8.$

Решение.

Дано:

Емкость каждого конденсатора: $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = C_5 = C_6 = C$

Начальное напряжение на конденсаторе 1: $U_{1, \text{нач}} = U_0$

Начальное напряжение на остальных конденсаторах: $U_{2, \text{нач}} = U_{3, \text{нач}} = U_{4, \text{нач}} = U_{5, \text{нач}} = U_{6, \text{нач}} = 0$

Найти:

Напряжения на каждом конденсаторе после замыкания ключа: $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6$

Решение:

После замыкания ключа, обкладки конденсатора 6 оказываются соединенными проводником, то есть он закорочен. Разность потенциалов, а следовательно и напряжение на нем, равно нулю. Заряд на этом конденсаторе также равен нулю. Поэтому для дальнейшего анализа конденсатор 6 можно исключить из схемы.

$U_6 = 0$

Найдем эквивалентную емкость остальной части цепи, к которой подключается конденсатор 1. Будем сворачивать схему, начиная с самого дальнего участка.

Конденсаторы 4 и 5 соединены последовательно. Их общая емкость $C_{45}$:

$\frac{1}{C_{45}} = \frac{1}{C_4} + \frac{1}{C_5} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \Rightarrow C_{45} = \frac{C}{2}$

Этот блок (4-5) соединен параллельно с конденсатором 3. Их общая емкость $C_{345}$:

$C_{345} = C_3 + C_{45} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$

Полученный блок (3-4-5) соединен последовательно с конденсатором 2. Их общая емкость $C_{2345}$:

$\frac{1}{C_{2345}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_{345}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{3C/2} = \frac{1}{C} + \frac{2}{3C} = \frac{3+2}{3C} = \frac{5}{3C} \Rightarrow C_{2345} = \frac{3C}{5}$

После замыкания ключа конденсатор 1 оказывается соединенным параллельно с блоком конденсаторов 2-3-4-5. Изначально заряд был только на конденсаторе 1 и равнялся $Q_0 = C_1 U_0 = CU_0$. Этот заряд перераспределяется между конденсатором 1 и эквивалентным конденсатором $C_{2345}$.

По закону сохранения заряда, суммарный заряд $Q_0$ сохранится. Общая емкость параллельно соединенных $C_1$ и $C_{2345}$ равна:

$C_{общ} = C_1 + C_{2345} = C + \frac{3C}{5} = \frac{8C}{5}$

Установившееся напряжение $U_1$ на конденсаторе 1 (и на всем блоке 2-3-4-5) будет равно:

$U_1 = \frac{Q_0}{C_{общ}} = \frac{CU_0}{8C/5} = \frac{5}{8}U_0$

Теперь найдем напряжения на остальных конденсаторах, зная напряжение на всей группе $U_{2345} = U_1 = \frac{5}{8}U_0$.

Заряд, прошедший через блок 2-3-4-5, равен:

$q_{2345} = C_{2345} \cdot U_1 = \frac{3C}{5} \cdot \frac{5U_0}{8} = \frac{3CU_0}{8}$

Так как $C_2$ и $C_{345}$ соединены последовательно, их заряды равны $q_2 = q_{345} = q_{2345}$. Напряжение на конденсаторе 2:

$U_2 = \frac{q_2}{C_2} = \frac{3CU_0/8}{C} = \frac{3}{8}U_0$

Напряжение на блоке 3-4-5:

$U_{345} = \frac{q_{345}}{C_{345}} = \frac{3CU_0/8}{3C/2} = \frac{2U_0}{8} = \frac{1}{4}U_0$

(Проверка: $U_2 + U_{345} = \frac{3}{8}U_0 + \frac{1}{4}U_0 = \frac{3+2}{8}U_0 = \frac{5}{8}U_0 = U_1$, что верно).

Конденсатор $C_3$ соединен параллельно блоку 4-5, поэтому напряжение на нем равно напряжению на всем блоке 3-4-5:

$U_3 = U_{345} = \frac{1}{4}U_0$

Конденсаторы $C_4$ и $C_5$ соединены последовательно и имеют одинаковую емкость. Значит, напряжение $U_{345}$ делится между ними поровну:

$U_4 = U_5 = \frac{U_{345}}{2} = \frac{U_0/4}{2} = \frac{1}{8}U_0$

Ответ:

$U_1 = \frac{5}{8} U_0$, $U_2 = \frac{3}{8} U_0$, $U_3 = \frac{1}{4} U_0$, $U_4 = \frac{1}{8} U_0$, $U_5 = \frac{1}{8} U_0$, $U_6 = 0$.