Номер 27.3, страница 191 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Упражнения - номер 27.3, страница 191.

Условие.

27.3. Найдите сопротивление R каждой из цепей, показанных на рисунках а, б, в. Сопротивление каждого резистора $R_0$, сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь.

☑ а) $R = R_0/3$; б) $R = 3R_0/5$; в) $R = R_0$.

Решение. а) Поскольку точки А и С, В и D закорочены, их потенциалы одинаковы. Объединив эти точки (см. рис. а), получаем $R = R_0/3$.

б) Эквивалентная схема показана на рис. б.

в) Наиболее удобная эквивалентная схема (см. рис. в) получится, если вытянуть в одну линию резисторы 1 и 5, а также 4 и 3. Из симметрии схемы следует, что $\varphi_B = \varphi_C$, поэтому резистор 2 можно изъять. Тогда $R = R_0$.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Дано:

Сопротивление каждого резистора в схемах: $R_1 = R_2 = ... = R_0$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление $R$ для каждой из цепей: $R_a, R_б, R_в$.

Решение:

а)

В схеме, показанной на рисунке а, точки А и С соединены проводником, поэтому их электрические потенциалы равны: $\phi_A = \phi_C$. Аналогично, точки B и D соединены проводником, следовательно, их потенциалы также равны: $\phi_B = \phi_D$.

Это позволяет нам рассматривать точки A и C как один узел, а точки B и D — как другой. В такой эквивалентной схеме резистор 1 (между A и B), резистор 2 (между C и B) и резистор 3 (между C и D) оказываются соединенными параллельно между этими двумя узлами.

Общее сопротивление $R_a$ для трех параллельно соединенных одинаковых резисторов $R_0$ находится по формуле:

$\frac{1}{R_a} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0}$

Отсюда получаем:

$R_a = \frac{R_0}{3}$

Ответ: $R_a = R_0/3$.

б)

В схеме на рисунке б точки B и D соединены проводником, поэтому их потенциалы равны: $\phi_B = \phi_D$. Эти точки можно объединить в один выходной узел.

Преобразуем схему. Резисторы 2 и 3 подключены между точкой C и общим узлом (B, D). Следовательно, они соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление $R_{23}$ равно:

$R_{23} = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0^2}{2R_0} = \frac{R_0}{2}$

Далее, резистор 4 соединен последовательно с этим параллельным участком (резисторы 2 и 3), так как он находится между точкой A и точкой C. Сопротивление этой ветви $R_{4,23}$ будет:

$R_{4,23} = R_4 + R_{23} = R_0 + \frac{R_0}{2} = \frac{3R_0}{2}$

Наконец, вся эта ветвь (резисторы 4, 2, 3) соединена параллельно с резистором 1, который подключен между точками A и B (т.е. между входной точкой A и общим выходным узлом). Общее сопротивление цепи $R_б$ находим как сопротивление параллельно соединенных участков с сопротивлениями $R_1$ и $R_{4,23}$:

$\frac{1}{R_б} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{4,23}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{3R_0/2} = \frac{1}{R_0} + \frac{2}{3R_0} = \frac{3+2}{3R_0} = \frac{5}{3R_0}$

Таким образом, общее сопротивление цепи:

$R_б = \frac{3R_0}{5}$

Ответ: $R_б = 3R_0/5$.

в)

Схема на рисунке в является мостовой схемой (мост Уитстона). Резисторы 1, 4, 5, 3 образуют плечи моста, а резистор 2 включен в измерительную диагональ между точками B и C.

Проверим условие баланса моста: произведение сопротивлений противоположных плеч должно быть равным, или, что то же самое, отношение сопротивлений в смежных плечах должно быть одинаковым.

$\frac{R_1}{R_4} = \frac{R_5}{R_3}$

Поскольку по условию все сопротивления равны $R_0$, подставляем их значения в формулу:

$\frac{R_0}{R_0} = \frac{R_0}{R_0} \implies 1 = 1$

Условие выполняется, следовательно, мост сбалансирован. В сбалансированном мосте потенциалы точек B и C равны ($\phi_B = \phi_C$), поэтому ток через резистор 2 (гальванометр в классической схеме) не течет. Этот резистор можно исключить из схемы без изменения ее общего сопротивления.

После удаления резистора 2 схема состоит из двух параллельных ветвей. Первая ветвь — это последовательно соединенные резисторы 1 и 5. Ее сопротивление $R_{15} = R_1 + R_5 = R_0 + R_0 = 2R_0$. Вторая ветвь — это последовательно соединенные резисторы 4 и 3. Ее сопротивление $R_{43} = R_4 + R_3 = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Общее сопротивление $R_в$ всей цепи равно сопротивлению этих двух параллельных ветвей:

$\frac{1}{R_в} = \frac{1}{R_{15}} + \frac{1}{R_{43}} = \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{2R_0} = \frac{2}{2R_0} = \frac{1}{R_0}$

Отсюда находим итоговое сопротивление:

$R_в = R_0$

Ответ: $R_в = R_0$.