Номер 27.7, страница 194 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Упражнения - номер 27.7, страница 194.

Условие.

27.7. Найдите сопротивление $\text{R}$ проволочного куба (см. рисунок) между точками A и A$_1$. Сопротивление каждого ребра $R_0$.

☑ $R = 7R_0/12$

Указание.

Система симметрична относительно плоскости AA$_1$CC$_1$. Значит, потенциалы точек B и D, B$_1$ и D$_1$ попарно совпадают. Объединяя эти точки, получаем показанную на рисунке эквивалентную схему.

Решение.

Дано

Каркасный куб, состоящий из 12 одинаковых проводников.

Сопротивление каждого ребра куба: $R_0$.

Найти:

Общее сопротивление $R$ между точками А и А₁, являющимися вершинами одного ребра.

Решение

Для нахождения эквивалентного сопротивления воспользуемся методом, основанным на симметрии схемы. В задаче указано, что система симметрична относительно плоскости $AA_1CC_1$. Эта плоскость проходит через ребра $AA_1$ и $CC_1$, к которым мы подключаем источник тока.

В силу этой симметрии, потенциалы в точках, симметричных относительно этой плоскости, будут равны. Точка B симметрична точке D, а точка B₁ симметрична точке D₁. Следовательно, их потенциалы попарно равны:

$\phi_B = \phi_D$

$\phi_{B_1} = \phi_{D_1}$

Поскольку потенциалы этих точек одинаковы, мы можем объединить их в эквивалентной схеме. То есть, мы можем мысленно соединить точки B и D в один узел (B,D), а точки B₁ и D₁ – в другой узел (B₁,D₁). Это не изменит распределение токов в цепи.

Теперь рассмотрим всю цепь как параллельное соединение двух частей:

1. Ребро $AA_1$, имеющее сопротивление $R_0$.

2. Остальная часть куба, состоящая из 11 ребер. Найдем ее сопротивление $R_{ост}$.

Общее сопротивление $R$ будет равно:

$R = \frac{R_0 \cdot R_{ост}}{R_0 + R_{ост}}$

Найдем $R_{ост}$, используя эквивалентную схему с объединенными узлами. Эта схема представляет собой последовательное соединение трех участков:

1. Участок от точки A до узла (B,D). Он состоит из двух параллельно соединенных ребер AB и AD. Его сопротивление $R_{A,(B,D)}$:

$R_{A,(B,D)} = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0^2}{2R_0} = \frac{R_0}{2}$

2. Участок от узла (B₁,D₁) до точки A₁. Он состоит из двух параллельно соединенных ребер B₁A₁ и D₁A₁. Его сопротивление $R_{(B_1,D_1),A_1}$:

$R_{(B_1,D_1),A_1} = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0}{2}$

3. Центральный участок между узлами (B,D) и (B₁,D₁). Этот участок, в свою очередь, состоит из двух параллельных ветвей:

• Первая ветвь: прямое соединение через ребра BB₁ и DD₁, которые соединены параллельно. Их общее сопротивление $R_{прям} = \frac{R_0}{2}$.

• Вторая ветвь: путь через узлы C и C₁. Эта ветвь состоит из трех последовательных частей:

  • От узла (B,D) к C (ребра BC и DC параллельно): $R_{(B,D),C} = \frac{R_0}{2}$

  • От C к C₁ (ребро CC₁): $R_{C,C_1} = R_0$

  • От C₁ к узлу (B₁,D₁) (ребра C₁B₁ и C₁D₁ параллельно): $R_{C_1,(B_1,D_1)} = \frac{R_0}{2}$

  Общее сопротивление второй ветви: $R_{обход} = \frac{R_0}{2} + R_0 + \frac{R_0}{2} = 2R_0$.

Теперь найдем общее сопротивление центрального участка $R_{центр}$ как параллельное соединение $R_{прям}$ и $R_{обход}$:

$R_{центр} = \frac{R_{прям} \cdot R_{обход}}{R_{прям} + R_{обход}} = \frac{\frac{R_0}{2} \cdot 2R_0}{\frac{R_0}{2} + 2R_0} = \frac{R_0^2}{\frac{5R_0}{2}} = \frac{2R_0}{5}$

Теперь мы можем найти сопротивление $R_{ост}$ как сумму сопротивлений трех последовательно соединенных участков:

$R_{ост} = R_{A,(B,D)} + R_{центр} + R_{(B_1,D_1),A_1} = \frac{R_0}{2} + \frac{2R_0}{5} + \frac{R_0}{2} = R_0 + \frac{2R_0}{5} = \frac{7R_0}{5}$

Наконец, находим искомое общее сопротивление $R$ между точками А и А₁:

$R = \frac{R_0 \cdot R_{ост}}{R_0 + R_{ост}} = \frac{R_0 \cdot \frac{7R_0}{5}}{R_0 + \frac{7R_0}{5}} = \frac{\frac{7R_0^2}{5}}{\frac{12R_0}{5}} = \frac{7R_0^2}{5} \cdot \frac{5}{12R_0} = \frac{7}{12}R_0$

Ответ: $R = \frac{7}{12}R_0$.