Номер 27.5, страница 192 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 27.5, страница 192.

Условие.

27.5. Найдите сопротивление R цепи (см. рисунок) между точками А и В, если сопротивление каждого звена $R_0$.

☑ $R = 3R_0/2$

Решение. Для получения эквивалентной схемы можно воспользоваться симметрией цепи: либо «разорвать» цепь (см. рис. а), либо объединить точки с равными потенциалами (на рис. б они обозначены одинаковыми буквами; в соответствующей эквивалентной схеме на рис. в сопротивление каждого резистора $R_0$).

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Дано

Схема цепи, состоящая из восьми одинаковых звеньев (резисторов).

Сопротивление каждого звена: $R_0$.

Найти:

Общее сопротивление цепи $R$ между точками А и В.

Решение

Для решения задачи воспользуемся симметрией представленной схемы. Введем обозначения для узлов схемы: А – верхний узел, В – нижний узел, L и R – левый и правый боковые узлы, М – центральный узел. Схема состоит из 8 резисторов сопротивлением $R_0$ каждый.

Схема симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через точки A, M, B. Из этой симметрии следует, что потенциалы в симметричных точках L и R равны: $\phi_L = \phi_R$.

Схема также симметрична относительно горизонтальной оси, проходящей через точки L, M, R. Если приложить напряжение $U$ между точками А и В (пусть $\phi_A = U$, а $\phi_B = 0$), то из-за этой симметрии потенциалы всех точек, лежащих на горизонтальной оси симметрии, будут одинаковы и равны половине приложенного напряжения: $\phi_L = \phi_M = \phi_R = U/2$.

Поскольку точки L, M, R имеют одинаковый потенциал, мы можем объединить их в один узел. Это не изменит токов в цепи и, следовательно, не изменит общего сопротивления. После объединения этих точек схема преобразуется в последовательное соединение двух групп резисторов.

Первая группа (верхняя) состоит из трех резисторов ($A-L$, $A-R$ и $A-M$), подключенных параллельно между точкой А и общим узлом (L, M, R). Ее сопротивление $R_{верх}$ равно:

$\frac{1}{R_{верх}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0}$

$R_{верх} = \frac{R_0}{3}$

Вторая группа (нижняя) состоит из трех резисторов ($L-B$, $R-B$ и $M-B$), подключенных параллельно между общим узлом (L, M, R) и точкой В. Ее сопротивление $R_{низ}$ равно:

$\frac{1}{R_{низ}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0}$

$R_{низ} = \frac{R_0}{3}$

Резисторы $L-M$ и $R-M$ в исходной схеме соединяют точки с одинаковым потенциалом, поэтому ток через них не течет, и в данной эквивалентной схеме они не учитываются (они оказываются "закорочены" при объединении узлов).

Общее сопротивление цепи $R$ равно сумме сопротивлений верхней и нижней групп, так как они соединены последовательно:

$R = R_{верх} + R_{низ} = \frac{R_0}{3} + \frac{R_0}{3} = \frac{2R_0}{3}$

Ответ: $R = \frac{2R_0}{3}$.