Номер 27.8, страница 194 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Упражнения - номер 27.8, страница 194.

Условие.

27.8. Сопротивление цепи измеряется между точками A и B (см. рисунок). Какое сопротивление $R_x$ необходимо включить между точками C и D, чтобы сопротивление всей цепи не зависело от числа ячеек в ней?

☑ $R_x = (\sqrt{3})R \approx 0,73R$

Решение.

Предположим, к цепи добавили одну ячейку (можно считать, что это последняя ячейка перед точками C и D). При этом сопротивление цепи не изменится в том случае, если сопротивление последней ячейки вместе с $R_x$ (см. рисунок) равно $R_x$, т. е. $\frac{R(2R + R_x)}{3R + R_x} = R_x$

Отсюда $R_x = (\sqrt{3})R \approx 0,73R$. Очевидно, при таком $R_x$ добавление любого числа ячеек не изменит полного сопротивления цепи (также равного $R_x$).

Решение.

Дано:

Цепь, состоящая из одинаковых ячеек. Каждая ячейка состоит из трех резисторов с сопротивлением $R$.

Найти:

Сопротивление $R_x$, которое необходимо включить между точками C и D, чтобы сопротивление всей цепи между точками А и В не зависело от числа ячеек.

Решение:

Условие, при котором сопротивление всей цепи не зависит от числа ячеек, означает, что при добавлении еще одной ячейки к цепи, ее полное сопротивление не изменяется. Пусть $R_{total}$ — это искомое сопротивление цепи, которое не зависит от ее длины. Если мы рассмотрим цепь, состоящую из одной ячейки и подключенной к ней нагрузки с сопротивлением $R_{total}$, то входное сопротивление такой комбинации также должно быть равно $R_{total}$. В нашем случае, роль такой нагрузки выполняет резистор $R_x$. Следовательно, искомое сопротивление $R_x$ должно быть таким, чтобы при подключении его в качестве нагрузки к одной ячейке, входное сопротивление этой ячейки было равно $R_x$.

Рассмотрим схему одной ячейки, нагруженной на сопротивление $R_x$. Судя по рисунку, входные клеммы A и B являются узлами, к которым подключена первая вертикальная ячейка. Таким образом, цепь представляет собой параллельное соединение первого вертикального резистора $R$ и остальной части цепи.

Остальная часть цепи состоит из верхнего горизонтального резистора $R$, нижнего горизонтального резистора $R$ и нагрузки $R_x$, соединенных последовательно. Сопротивление этой части цепи равно:

$R_{ост} = R + R + R_x = 2R + R_x$

Полное входное сопротивление ячейки, нагруженной на $R_x$, представляет собой параллельное соединение первого вертикального резистора $R$ и сопротивления $R_{ост}$:

$R_{вх} = \frac{R \cdot R_{ост}}{R + R_{ост}} = \frac{R(2R + R_x)}{R + (2R + R_x)} = \frac{R(2R + R_x)}{3R + R_x}$

Согласно условию независимости сопротивления от числа ячеек, входное сопротивление должно быть равно сопротивлению нагрузки:

$R_{вх} = R_x$

Получаем уравнение:

$R_x = \frac{R(2R + R_x)}{3R + R_x}$

Преобразуем это уравнение:

$R_x(3R + R_x) = R(2R + R_x)$

$3RR_x + R_x^2 = 2R^2 + RR_x$

$R_x^2 + 2RR_x - 2R^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $R_x$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$R_x = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2} = \frac{-2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$

$R_x = \frac{-2R \pm 2\sqrt{3}R}{2} = R(-1 \pm \sqrt{3})$

Поскольку сопротивление не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$R_x = R(\sqrt{3} - 1)$

Численно, учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$R_x \approx R(1.732 - 1) = 0.732R$

Ответ: $R_x = (\sqrt{3} - 1)R \approx 0.73R$.