Номер 110, страница 196 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Олимпиадные задачи. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 110, страница 196.
№110 (с. 196)
Условие. №110 (с. 196)
скриншот условия


О10. Найдите сопротивление R бесконечной цепи, показанной на рисунке.
☑ $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}} \right)$
Решение. Удаление одной ячейки не приводит к изменению сопротивления бесконечной цепи. Значит, вся цепь, находящаяся правее звена $A_1B_1$, тоже имеет сопротивление $\text{R}$ (см. эквивалентную схему на рисунке). Это позволяет написать уравнение $R = R_1 + R_3 + \frac{R_2R}{R_2 + R}$, из которого находим $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}} \right)$. Если $R_2 \ll R_1 + R_3$, получаем $R = R_1 + R_3$ (резистор с малым сопротивлением $R_2$ практически закоротит всю последующую бесконечную цепь).
Решение. №110 (с. 196)
Найти:
Общее сопротивление бесконечной цепи $R$.
Решение:
Данная цепь является бесконечной, то есть состоит из бесконечного числа одинаковых повторяющихся звеньев (ячеек). Обозначим искомое сопротивление всей цепи как $R$.
Ключевое свойство такой бесконечной цепи заключается в том, что если от нее отсоединить одно звено (например, первое, состоящее из резисторов $R_1$, $R_2$ и $R_3$), то сопротивление оставшейся бесконечной части цепи не изменится и будет по-прежнему равно $R$.
Это позволяет нам заменить всю часть цепи, находящуюся правее точек $A_1$ и $B_1$, одним эквивалентным сопротивлением $R$. В результате мы получаем эквивалентную схему, в которой резисторы $R_1$ и $R_3$ соединены последовательно с участком, где резистор $R_2$ и эквивалентное сопротивление $R$ (оставшейся части цепи) соединены параллельно.
Сопротивление параллельного соединения резистора $R_2$ и эквивалентного сопротивления $R$ (участок $A_1B_1$) равно:
$R_{A_1B_1} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R}$
Общее сопротивление всей эквивалентной схемы, которое по нашему предположению равно $R$, складывается из последовательно соединенных сопротивлений $R_1$, $R_3$ и участка $A_1B_1$:
$R = R_1 + R_3 + R_{A_1B_1}$
Подставим в это уравнение выражение для $R_{A_1B_1}$:
$R = R_1 + R_3 + \frac{R_2 R}{R_2 + R}$
Теперь необходимо решить это уравнение относительно $R$. Преобразуем его, перенеся $R_1$ и $R_3$ в левую часть:
$R - (R_1 + R_3) = \frac{R_2 R}{R_2 + R}$
Умножим обе части уравнения на $(R_2 + R)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$(R - (R_1 + R_3))(R_2 + R) = R_2 R$
Раскроем скобки в левой части:
$R \cdot R_2 + R^2 - (R_1 + R_3)R_2 - (R_1 + R_3)R = R_2 R$
Сократим слагаемое $R \cdot R_2$ в обеих частях и перегруппируем члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $R$:
$R^2 - (R_1 + R_3)R - (R_1 + R_3)R_2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $aR^2 + bR + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a=1$, $b=-(R_1 + R_3)$, $c=-(R_1 + R_3)R_2$.
Решаем его, используя формулу для корней квадратного уравнения:
$R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Подставляем наши коэффициенты:
$R = \frac{-(-(R_1 + R_3)) \pm \sqrt{(-(R_1 + R_3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(R_1 + R_3)R_2)}}{2 \cdot 1}$
$R = \frac{(R_1 + R_3) \pm \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$
Поскольку сопротивление $R$ является физической величиной, оно не может быть отрицательным. Проанализируем два корня. Так как $R_1, R_2, R_3 > 0$, то $\sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)} > \sqrt{(R_1 + R_3)^2} = R_1 + R_3$. Следовательно, корень со знаком "минус" даст отрицательное значение для $R$. Поэтому мы должны выбрать корень со знаком "плюс" как единственное физически осмысленное решение.
$R = \frac{R_1 + R_3 + \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$
Для приведения этого выражения к виду, указанному в условии, вынесем $(R_1 + R_3)^2$ из-под знака корня:
$R = \frac{R_1 + R_3 + \sqrt{(R_1 + R_3)^2 \left(1 + \frac{4R_2(R_1 + R_3)}{(R_1 + R_3)^2}\right)}}{2}$
$R = \frac{R_1 + R_3 + (R_1 + R_3)\sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}}{2}$
Наконец, вынесем общий множитель $\frac{R_1 + R_3}{2}$ за скобки:
$R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}\right)$
Ответ:
Общее сопротивление бесконечной цепи равно $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}\right)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 110 расположенного на странице 196 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №110 (с. 196), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.