Номер 110, страница 196 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Олимпиадные задачи - номер 110, страница 196.

Условие.

О10. Найдите сопротивление R бесконечной цепи, показанной на рисунке.

☑ $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}} \right)$

Решение. Удаление одной ячейки не приводит к изменению сопротивления бесконечной цепи. Значит, вся цепь, находящаяся правее звена $A_1B_1$, тоже имеет сопротивление $\text{R}$ (см. эквивалентную схему на рисунке). Это позволяет написать уравнение $R = R_1 + R_3 + \frac{R_2R}{R_2 + R}$, из которого находим $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}} \right)$. Если $R_2 \ll R_1 + R_3$, получаем $R = R_1 + R_3$ (резистор с малым сопротивлением $R_2$ практически закоротит всю последующую бесконечную цепь).

Решение.

Найти:

Общее сопротивление бесконечной цепи $R$.

Решение:

Данная цепь является бесконечной, то есть состоит из бесконечного числа одинаковых повторяющихся звеньев (ячеек). Обозначим искомое сопротивление всей цепи как $R$.

Ключевое свойство такой бесконечной цепи заключается в том, что если от нее отсоединить одно звено (например, первое, состоящее из резисторов $R_1$, $R_2$ и $R_3$), то сопротивление оставшейся бесконечной части цепи не изменится и будет по-прежнему равно $R$.

Это позволяет нам заменить всю часть цепи, находящуюся правее точек $A_1$ и $B_1$, одним эквивалентным сопротивлением $R$. В результате мы получаем эквивалентную схему, в которой резисторы $R_1$ и $R_3$ соединены последовательно с участком, где резистор $R_2$ и эквивалентное сопротивление $R$ (оставшейся части цепи) соединены параллельно.

Сопротивление параллельного соединения резистора $R_2$ и эквивалентного сопротивления $R$ (участок $A_1B_1$) равно:

$R_{A_1B_1} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R}$

Общее сопротивление всей эквивалентной схемы, которое по нашему предположению равно $R$, складывается из последовательно соединенных сопротивлений $R_1$, $R_3$ и участка $A_1B_1$:

$R = R_1 + R_3 + R_{A_1B_1}$

Подставим в это уравнение выражение для $R_{A_1B_1}$:

$R = R_1 + R_3 + \frac{R_2 R}{R_2 + R}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $R$. Преобразуем его, перенеся $R_1$ и $R_3$ в левую часть:

$R - (R_1 + R_3) = \frac{R_2 R}{R_2 + R}$

Умножим обе части уравнения на $(R_2 + R)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(R - (R_1 + R_3))(R_2 + R) = R_2 R$

Раскроем скобки в левой части:

$R \cdot R_2 + R^2 - (R_1 + R_3)R_2 - (R_1 + R_3)R = R_2 R$

Сократим слагаемое $R \cdot R_2$ в обеих частях и перегруппируем члены, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $R$:

$R^2 - (R_1 + R_3)R - (R_1 + R_3)R_2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $aR^2 + bR + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a=1$, $b=-(R_1 + R_3)$, $c=-(R_1 + R_3)R_2$.

Решаем его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставляем наши коэффициенты:

$R = \frac{-(-(R_1 + R_3)) \pm \sqrt{(-(R_1 + R_3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(R_1 + R_3)R_2)}}{2 \cdot 1}$

$R = \frac{(R_1 + R_3) \pm \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$

Поскольку сопротивление $R$ является физической величиной, оно не может быть отрицательным. Проанализируем два корня. Так как $R_1, R_2, R_3 > 0$, то $\sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)} > \sqrt{(R_1 + R_3)^2} = R_1 + R_3$. Следовательно, корень со знаком "минус" даст отрицательное значение для $R$. Поэтому мы должны выбрать корень со знаком "плюс" как единственное физически осмысленное решение.

$R = \frac{R_1 + R_3 + \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$

Для приведения этого выражения к виду, указанному в условии, вынесем $(R_1 + R_3)^2$ из-под знака корня:

$R = \frac{R_1 + R_3 + \sqrt{(R_1 + R_3)^2 \left(1 + \frac{4R_2(R_1 + R_3)}{(R_1 + R_3)^2}\right)}}{2}$

$R = \frac{R_1 + R_3 + (R_1 + R_3)\sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}}{2}$

Наконец, вынесем общий множитель $\frac{R_1 + R_3}{2}$ за скобки:

$R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}\right)$

Ответ:

Общее сопротивление бесконечной цепи равно $R = \frac{R_1 + R_3}{2} \left(1 + \sqrt{1 + \frac{4R_2}{R_1 + R_3}}\right)$.