Номер 28.3, страница 201 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Упражнения - номер 28.3, страница 201.

Условие.

28.3. Цепь состоит из аккумулятора и лампы. При этом напряжение на зажимах аккумулятора $U_1 = 20$ В. При параллельном подключении еще одной такой же лампы напряжение падает до $U_2 = 15$ В. Найдите сопротивление $\text{R}$ каждой лампы. Считайте, что сопротивление лампы не зависит от ее накала. Внутреннее сопротивление аккумулятора $r = 1$ Ом.

☑ $R = 2$ Ом.

Решение. В случае одной лампы согласно закону Ома для полной цепи $U_1 = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$.

При параллельном подключении второй лампы сопротивление внешней цепи равно $R/2$, так что $U_2 = \frac{\mathcal{E}R/2}{R/2+r} = \frac{\mathcal{E}R}{R+2r}$.

Отсюда $R = \frac{2U_2 - U_1}{U_1 - U_2}r = 2$ (Ом).

Решение.

Дано:

$U_1 = 20 \text{ В}$

$U_2 = 15 \text{ В}$

$r = 1 \text{ Ом}$

Найти:

$R$ - ?

Решение:

Пусть $\mathcal{E}$ – ЭДС аккумулятора, $R$ – сопротивление каждой лампы, $r$ – внутреннее сопротивление аккумулятора.

1. Случай с одной лампой.

Когда в цепь включена одна лампа, внешнее сопротивление цепи равно $R$. Согласно закону Ома для полной цепи, ток в цепи $I_1$ равен: $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Напряжение на зажимах аккумулятора $U_1$ равно напряжению на внешней нагрузке (лампе): $U_1 = I_1 \cdot R = \frac{\mathcal{E} R}{R+r}$

2. Случай с двумя лампами.

При параллельном подключении второй такой же лампы общее сопротивление внешней цепи $R_{внеш}$ становится равным: $\frac{1}{R_{внеш}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$, откуда $R_{внеш} = \frac{R}{2}$

Ток в цепи $I_2$ при этом будет: $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш}+r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R}{2}+r} = \frac{2\mathcal{E}}{R+2r}$

Напряжение на зажимах аккумулятора $U_2$ теперь равно: $U_2 = I_2 \cdot R_{внеш} = \frac{2\mathcal{E}}{R+2r} \cdot \frac{R}{2} = \frac{\mathcal{E} R}{R+2r}$

3. Решение системы уравнений.

Мы имеем систему из двух уравнений:
$U_1 = \frac{\mathcal{E} R}{R+r} \quad (1)$
$U_2 = \frac{\mathcal{E} R}{R+2r} \quad (2)$

Выразим из каждого уравнения произведение $\mathcal{E}R$:
Из (1): $\mathcal{E}R = U_1(R+r)$
Из (2): $\mathcal{E}R = U_2(R+2r)$

Приравняем правые части полученных выражений: $U_1(R+r) = U_2(R+2r)$

Раскроем скобки и выразим $R$: $U_1 R + U_1 r = U_2 R + 2 U_2 r$
$U_1 R - U_2 R = 2 U_2 r - U_1 r$
$R(U_1 - U_2) = r(2 U_2 - U_1)$
$R = \frac{r(2 U_2 - U_1)}{U_1 - U_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $R = \frac{1 \cdot (2 \cdot 15 - 20)}{20 - 15} = \frac{30 - 20}{5} = \frac{10}{5} = 2 \text{ Ом}$

Ответ: $R = 2 \text{ Ом}$.