Номер 113, страница 198 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 113, страница 198.

Условие.

O13. Какой ток течет через каждый из резисторов (см. рисунок), если к цепи приложено напряжение $U = 84$ В? Сопротивления резисторов $R_1 = R_5 = R_8 = 12$ Ом; $R_2 = R_6 = R_7 = 6,0$ Ом; $R_3 = 3,0$ Ом; $R_4 = 24$ Ом.

☑ $I_1 = I_2 = I_3 = 4$ А, $I_4 = I_7 = I_8 = 2$ А, $I_5 = I_6 = 0$.

Решение. Простейшая эквивалентная схема получается, если «вытянуть» в одну линию резисторы 1, 2, 3 и 4, 8, 7 (см. рисунок). Поскольку $R_1:R_2:R_3 = R_4:R_8:R_7$, нетрудно показать, что потенциалы точек А и С, В и D совпадают: $\Phi_A = \Phi_C$, $\Phi_B = \Phi_D$. Поэтому ток через резисторы $R_5$ и $R_6$ не течет: $I_5 = I_6 = 0$.

После изъятия из цепи этих резисторов расчет токов не вызывает затруднений:

$I_1 = I_2 = I_3 = \frac{U}{R_1 + R_2 + R_3} = 4$ (А),

$I_4 = I_7 = I_8 = \frac{U}{R_4 + R_7 + R_8} = 2$ (А).

Решение.

Дано:

$U = 84 \text{ В}$
$R_1 = 12 \text{ Ом}$
$R_2 = 6.0 \text{ Ом}$
$R_3 = 3.0 \text{ Ом}$
$R_4 = 24 \text{ Ом}$
$R_5 = 12 \text{ Ом}$
$R_6 = 6.0 \text{ Ом}$
$R_7 = 6.0 \text{ Ом}$
$R_8 = 12 \text{ Ом}$

Найти:

$I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6, I_7, I_8$ - ?

Решение:

Данная электрическая схема представляет собой симметричный мост. Особенностью таких схем является то, что если сопротивления в плечах моста пропорциональны, то мост является сбалансированным, и ток через соединительные элементы (в данном случае $R_5$ и $R_6$) не течет.

Проверим условие баланса моста. Для этого сравним отношения сопротивлений в верхней и нижней ветвях схемы.

Отношение сопротивлений в верхней ветви (резисторы $R_1, R_2, R_3$):

$R_1 : R_2 : R_3 = 12 : 6.0 : 3.0 = 4 : 2 : 1$

Отношение сопротивлений в нижней ветви (резисторы $R_4, R_8, R_7$):

$R_4 : R_8 : R_7 = 24 : 12 : 6.0 = 4 : 2 : 1$

Так как отношения сопротивлений в плечах равны ($R_1:R_2:R_3 = R_4:R_8:R_7$), мост сбалансирован. Это означает, что потенциалы в точках, соединенных резисторами $R_5$ и $R_6$, соответственно равны. Следовательно, разность потенциалов на резисторах $R_5$ и $R_6$ равна нулю, и ток через них не протекает.

$I_5 = 0 \text{ А}$

$I_6 = 0 \text{ А}$

Поскольку ток через резисторы $R_5$ и $R_6$ отсутствует, их можно мысленно удалить из схемы для дальнейших расчетов. Схема упрощается до двух параллельных ветвей, подключенных к источнику напряжения $U$.

Первая ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1, R_2$ и $R_3$. Ток через эти резисторы одинаков и находится по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = I_2 = I_3 = \frac{U}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{84 \text{ В}}{12 \text{ Ом} + 6.0 \text{ Ом} + 3.0 \text{ Ом}} = \frac{84 \text{ В}}{21 \text{ Ом}} = 4 \text{ А}$

Вторая ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_4, R_8$ и $R_7$. Ток через них также одинаков:

$I_4 = I_8 = I_7 = \frac{U}{R_4 + R_8 + R_7} = \frac{84 \text{ В}}{24 \text{ Ом} + 12 \text{ Ом} + 6.0 \text{ Ом}} = \frac{84 \text{ В}}{42 \text{ Ом}} = 2 \text{ А}$

Ответ:

Токи через резисторы равны:
$I_1 = 4 \text{ А}$
$I_2 = 4 \text{ А}$
$I_3 = 4 \text{ А}$
$I_4 = 2 \text{ А}$
$I_5 = 0 \text{ А}$
$I_6 = 0 \text{ А}$
$I_7 = 2 \text{ А}$
$I_8 = 2 \text{ А}$