Номер 109, страница 195 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 109, страница 195.

Условие.

O09. «Черный ящик» имеет три клеммы A, B, C (см. рисунок).

Известно, что он содержит только резисторы. Сопротивления «черно-го ящика» при подключении к различным парам клемм таковы: $R_{AB} = 5$ Ом, $R_{BC} = 8$ Ом, $R_{AC} = 9$ Ом. Предложите схему «черного ящика», содержащую минимально возможное число резисторов.

Решение. Простой перебор показывает, что условию задачи могут удовлетворять только схемы, показанные на рис. а и б. Найдем сопротивления резисторов.

Рис. а

Рис. б

Схема а при подключении к любой паре клемм представляет собой последовательное соединение двух резисторов.

Из соотношений $R_{AB} = r_1 + r_2$, $R_{BC} = r_2 + r_3$, $R_{AC} = r_1 + r_3$ находим, что $r_1 = 3$ Ом, $r_2 = 2$ Ом, $r_3 = 6$ Ом. Для схемы б получаем систему уравнений:

$\begin{cases}R_{AB} = \frac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \\R_{BC} = \frac{R_2(R_1 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \\R_{AC} = \frac{R_3(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + R_3}\end{cases}$

Складывая первые два уравнения и вычитая третье, получаем $2R_1R_2 = (R_{AB} + R_{BC} - R_{AC})(R_1 + R_2 + R_3)$. Аналогично получаем выражения для $R_2R_3$ и $R_1R_3$. Почленно разделив их друг на друга и подставив числовые значения $R_{AB}$, $R_{BC}$, $R_{AC}$, находим: $R_2/R_1 = 2$, $R_3/R_1 = 3$. Выражая в любом из исходных уравнений $R_2$ и $R_3$ через $R_1$, находим $R_1 = 6$ Ом, $R_2 = 12$ Ом, $R_3 = 18$ Ом.

Решение.

Дано:

Сопротивление между клеммами A и B: $R_{AB} = 5$ Ом

Сопротивление между клеммами B и C: $R_{BC} = 8$ Ом

Сопротивление между клеммами A и C: $R_{AC} = 9$ Ом

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Схему «черного ящика» с минимальным числом резисторов и их номиналы.

Решение:

Минимальное количество резисторов, необходимое для соединения трех клемм, чтобы удовлетворить заданным условиям, равно трем. Существуют две основные схемы такого соединения: соединение «звезда» (Y-схема) и соединение «треугольник» (Δ-схема). Рассмотрим обе возможности.

1. Схема соединения «звезда»

В этой схеме три резистора ($r_1, r_2, r_3$) соединены в одной центральной точке, а их свободные концы подключены к клеммам A, C и B соответственно. Сопротивление между любыми двумя клеммами равно сумме сопротивлений двух соответствующих резисторов. Составим систему уравнений:

$R_{AB} = r_1 + r_3 = 5$

$R_{BC} = r_2 + r_3 = 8$

$R_{AC} = r_1 + r_2 = 9$

Сложим все три уравнения:

$(r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) + (r_1 + r_2) = 5 + 8 + 9$

$2(r_1 + r_2 + r_3) = 22$

$r_1 + r_2 + r_3 = 11$

Теперь, вычитая из полученного уравнения каждое из исходных, найдем сопротивления:

$r_1 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = 11 - 8 = 3$ Ом

$r_2 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_3) = 11 - 5 = 6$ Ом

$r_3 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_2) = 11 - 9 = 2$ Ом

Таким образом, одна из возможных схем – это соединение «звезда» с резисторами $r_1=3$ Ом (подключен к клемме A), $r_2=6$ Ом (подключен к клемме C) и $r_3=2$ Ом (подключен к клемме B).

Ответ: Схема «звезда» с тремя резисторами: резистор $r_1 = 3$ Ом подключен к клемме A, резистор $r_2 = 6$ Ом — к клемме C, резистор $r_3 = 2$ Ом — к клемме B. Все три резистора соединены в общей точке.

2. Схема соединения «треугольник»

В этой схеме три резистора ($R_1, R_2, R_3$) соединяют клеммы попарно, образуя треугольник. Резистор $R_1$ соединяет A и B, $R_2$ — B и C, $R_3$ — A и C. Сопротивление между двумя клеммами определяется параллельным соединением одного прямого резистора и суммы двух других. Формулы для сопротивлений:

$R_{AB} = \frac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} = 5$

$R_{BC} = \frac{R_2(R_1 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} = 8$

$R_{AC} = \frac{R_3(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + R_3} = 9$

Решить эту систему можно напрямую, либо используя преобразование из найденной выше схемы «звезда» в эквивалентную схему «треугольник». Воспользуемся формулами преобразования, где $r_A=r_1=3$ Ом, $r_B=r_3=2$ Ом, $r_C=r_2=6$ Ом – сопротивления лучей «звезды», подключенных к соответствующим клеммам.

Общий числитель для формул: $N = r_A r_B + r_B r_C + r_C r_A = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 6 + 6 \cdot 3 = 6 + 12 + 18 = 36 \text{ Ом}^2$.

Сопротивления сторон «треугольника»:

$R_1 (между A и B) = \frac{N}{r_C} = \frac{36}{6} = 6$ Ом

$R_2 (между B и C) = \frac{N}{r_A} = \frac{36}{3} = 12$ Ом

$R_3 (между A и C) = \frac{N}{r_B} = \frac{36}{2} = 18$ Ом

Таким образом, вторая возможная схема – это соединение «треугольник» с резисторами $R_1=6$ Ом, $R_2=12$ Ом и $R_3=18$ Ом.

Ответ: Схема «треугольник» с тремя резисторами: резистор $R_1 = 6$ Ом соединяет клеммы A и B, резистор $R_2 = 12$ Ом соединяет клеммы B и C, резистор $R_3 = 18$ Ом соединяет клеммы A и C.