Номер 28.7, страница 203 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 28.7, страница 203.

Условие.

28.7. Найдите силу тока $I_A$ через амперметр (см. рисунок), если сопротивления резисторов $R_1 = 20$ Ом, $R_2 = R_4 = 8$ Ом, $R_3 = 1$ Ом. ЭДС источника $\mathcal{E} = 50$ В, его внутреннее сопротивление $r = 1$ Ом. Сопротивлением амперметра можно пренебречь.

☑ $I_A = 6$ А.

Указание.

Эквивалентная схема с изъятым амперметром (см. рисунок) позволяет найти силу тока через каждый из резисторов. Возвращаясь к исходной схеме, находим $I_A$ с помощью закона сохранения заряда: $I_A = I - I_4$ или $I_A = I_1 + I_2$ (ср. с задачей О11).

Решение.

Дано:

$R_1 = 20 \, Ом$

$R_2 = 8 \, Ом$

$R_3 = 1 \, Ом$

$R_4 = 8 \, Ом$

$\mathcal{E} = 50 \, В$

$r = 1 \, Ом$

Сопротивление амперметра $R_A = 0 \, Ом$ (можно пренебречь)

Найти:

$I_A$ - сила тока через амперметр.

Решение:

Проанализируем схему электрической цепи. Обозначим узлы схемы для удобства анализа:

• Узел P: точка подключения положительного полюса источника, к которой подключены резисторы $R_3$ и $R_4$.
• Узел N: точка подключения отрицательного полюса источника (общая "земля" схемы).
• Узел A: точка соединения резисторов $R_1$, $R_2$ и $R_3$.
• Узел B: точка соединения резисторов $R_1$, $R_4$ и амперметра.

Амперметр подключен между узлом B и узлом N. Согласно условию, сопротивлением амперметра можно пренебречь, что означает, что амперметр является идеальным и его сопротивление $R_A = 0$. Это эквивалентно короткому замыканию между точками B и N. Следовательно, потенциалы этих точек равны. Примем потенциал узла N равным нулю: $V_N = 0$. Тогда потенциал узла B также равен нулю: $V_B = 0$.

Теперь схема упрощается:

• Резистор $R_4$ подключен между узлами P и B, то есть между P и N.
• Резистор $R_1$ подключен между узлами A и B, то есть между A и N.
• Резистор $R_2$ подключен между узлами A и N.

Таким образом, резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно. Найдем их эквивалентное сопротивление $R_{12}$:

$R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 \cdot 8}{20 + 8} = \frac{160}{28} = \frac{40}{7} \, Ом$

Эта параллельная группа ($R_1 || R_2$) соединена последовательно с резистором $R_3$ (который подключен между P и A). Эквивалентное сопротивление этой ветви $R_{3,12}$:

$R_{3,12} = R_3 + R_{12} = 1 + \frac{40}{7} = \frac{7+40}{7} = \frac{47}{7} \, Ом$

Вся эта ветвь ($R_{3,12}$) подключена между узлами P и N и, следовательно, параллельна резистору $R_4$. Общее эквивалентное сопротивление внешней цепи $R_{ext}$:

$R_{ext} = \frac{R_{3,12} \cdot R_4}{R_{3,12} + R_4} = \frac{\frac{47}{7} \cdot 8}{\frac{47}{7} + 8} = \frac{\frac{376}{7}}{\frac{47+56}{7}} = \frac{376}{103} \, Ом$

Полное сопротивление цепи $R_{total}$ равно сумме внешнего и внутреннего сопротивлений:

$R_{total} = R_{ext} + r = \frac{376}{103} + 1 = \frac{376+103}{103} = \frac{479}{103} \, Ом$

Общий ток $I_{tot}$, текущий от источника, по закону Ома для полной цепи:

$I_{tot} = \frac{\mathcal{E}}{R_{total}} = \frac{50}{479/103} = \frac{50 \cdot 103}{479} = \frac{5150}{479} \, А$

Амперметр измеряет ток $I_A$, который течет из узла B в узел N. Применим правило Кирхгофа для узла B. В узел B втекают токи через $R_1$ (обозначим $I_1$) и через $R_4$ (обозначим $I_4$), а вытекает ток $I_A$ через амперметр.

$I_A = I_1 + I_4$

Найдем токи $I_1$ и $I_4$. Для этого сначала найдем напряжение $V_P$ на клеммах внешней цепи:

$V_P = I_{tot} \cdot R_{ext} = \frac{5150}{479} \cdot \frac{376}{103} = \frac{50 \cdot 103}{479} \cdot \frac{376}{103} = \frac{18800}{479} \, В$

Ток $I_4$ через резистор $R_4$ (подключенный между P и N):

$I_4 = \frac{V_P}{R_4} = \frac{18800/479}{8} = \frac{2350}{479} \, А$

Чтобы найти ток $I_1$, нам нужен потенциал в точке A, $V_A$. Потенциал $V_A$ - это напряжение на параллельном участке $R_{12}$. Ток, протекающий через ветвь $R_{3,12}$, равен:

$I_{3,12} = \frac{V_P}{R_{3,12}} = \frac{18800/479}{47/7} = \frac{18800 \cdot 7}{479 \cdot 47} = \frac{131600}{22513} \, А$

Напряжение $V_A$ (относительно N) равно:

$V_A = I_{3,12} \cdot R_{12} = \frac{131600}{22513} \cdot \frac{40}{7} = \frac{752000}{22513} \, В$

Теперь можем найти ток $I_1$ через резистор $R_1$ (подключенный между A и N):

$I_1 = \frac{V_A}{R_1} = \frac{752000/22513}{20} = \frac{37600}{22513} \, А$

Наконец, находим искомый ток через амперметр $I_A$:

$I_A = I_1 + I_4 = \frac{37600}{22513} + \frac{2350}{479}$

Приводя к общему знаменателю $22513 = 479 \cdot 47$:

$I_A = \frac{37600}{22513} + \frac{2350 \cdot 47}{479 \cdot 47} = \frac{37600 + 110450}{22513} = \frac{148050}{22513} \, А$

Вычислим численное значение:

$I_A \approx 6.577 \, А$

Заметим, что ток через амперметр также можно найти по правилу Кирхгофа для узла N, куда втекают токи $I_2$ (через $R_2$) и $I_A$, а вытекает общий ток $I_{tot}$ (в источник). $I_{tot} = I_A + I_2$. Отсюда $I_A = I_{tot} - I_2$.

$I_2 = \frac{V_A}{R_2} = \frac{752000/22513}{8} = \frac{94000}{22513} \, А$

$I_{tot} = \frac{5150}{479} = \frac{5150 \cdot 47}{22513} = \frac{242050}{22513} \, А$

$I_A = \frac{242050}{22513} - \frac{94000}{22513} = \frac{148050}{22513} \, А \approx 6.577 \, А$

Оба метода дают одинаковый результат. Округляя до двух значащих цифр, получаем $6.6 \, А$.

Примечание: отмеченный в задаче ответ "6 А", вероятно, является результатом опечатки в условии задачи или округлением. Представленное решение строго следует из данных условия и законов электротехники.

Ответ: $I_A = \frac{148050}{22513} \, А \approx 6.58 \, А$.