Номер 108, страница 187 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 108, страница 187.

Условие.

О08. Какое количество теплоты $\text{Q}$ выделится во всей цепи при переводе ключа из положения 1 в положение 2 (см. рисунок)? Энергией электромагнитного излучения можно пренебречь.

☑ $Q = C\mathcal{E}^2/3.$

Решение. Полная емкость батареи конденсаторов (и, следовательно, запасенная в ней энергия) после переключения не изменяется: она равна $2C/3$

Решение. Полная емкость батареи конденсаторов (и, следовательно, запасенная в ней энергия) после переключения не изменяется: она равна $2C/3$. Значит, выделившаяся энергия могла поступить только от источника ЭДС, т. е. $Q = A_{ст} = \Delta q \cdot \mathcal{E}$ (здесь $A_{ст}$ — работа сторонних сил в источнике, $\Delta q$ — заряд, прошедший внутри источника от его отрицательного полюса к положительному). Из рисунков а и б, показывающих распределение зарядов на обкладках конденсаторов соответственно до и после переключения, видно: заряд $\Delta q = C\mathcal{E}/3$ ушел с верхней обкладки левого конденсатора и, следовательно, прошел через источник. Таким образом, $Q = C\mathcal{E}^2/3$. Интересно, что при обратном переключении снова выделится такое же количество теплоты.

Рис. а

Решение.

Дано

ЭДС источника: $ℰ$

Емкость каждого конденсатора: $C$

Все величины даны в символьном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Количество теплоты $Q$

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии для электрической цепи. Выделившееся количество теплоты $Q$ равно работе $A_{ст}$ сторонних сил источника за вычетом изменения энергии $ΔW$, запасенной в конденсаторах:

$Q = A_{ст} - ΔW = A_{ст} - (W_2 - W_1)$

где $W_1$ и $W_2$ — начальная и конечная энергия конденсаторов.

1. Начальное состояние (ключ в положении 1).

В этом положении левый конденсатор $C_1$ соединен последовательно с параллельно соединенными средним $C_2$ и правым $C_3$ конденсаторами. Найдем эквивалентную емкость батареи:

$C_{23} = C_2 + C_3 = C + C = 2C$

$C_{экв1} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2C}{3}$

Энергия, запасенная в конденсаторах в начальном состоянии:

$W_1 = \frac{C_{экв1}ℰ^2}{2} = \frac{(2C/3)ℰ^2}{2} = \frac{Cℰ^2}{3}$

Найдем заряды на каждом конденсаторе. Общий заряд, прошедший через источник, равен заряду на первом конденсаторе:

$q_1 = C_{экв1}ℰ = \frac{2Cℰ}{3}$

Напряжение на первом конденсаторе: $U_1 = q_1/C = (2/3)ℰ$.

Напряжение на параллельных конденсаторах $C_2$ и $C_3$: $U_{23} = ℰ - U_1 = ℰ - (2/3)ℰ = ℰ/3$.

Заряды на втором и третьем конденсаторах:

$q_2 = C U_{23} = \frac{Cℰ}{3}$

$q_3 = C U_{23} = \frac{Cℰ}{3}$

2. Конечное состояние (ключ в положении 2).

В этом положении схема перестраивается. Из-за симметрии схемы можно предположить, что эквивалентная емкость не изменится. Например, если ключ подключает источник к правому конденсатору, то он оказывается соединенным последовательно с параллельной сборкой из левого и среднего конденсаторов. Эквивалентная емкость в этом случае будет такой же:

$C_{экв2} = \frac{2C}{3}$

Следовательно, энергия, запасенная в конденсаторах, в конечном состоянии равна начальной:

$W_2 = \frac{C_{экв2}ℰ^2}{2} = \frac{Cℰ^2}{3}$

Изменение энергии конденсаторов равно нулю:

$ΔW = W_2 - W_1 = 0$

3. Расчет количества теплоты.

Из закона сохранения энергии следует, что все выделившееся тепло равно работе источника:

$Q = A_{ст} - ΔW = A_{ст} - 0 = A_{ст}$

Работа источника равна произведению ЭДС на заряд $Δq$, который прошел через источник в процессе переключения:

$A_{ст} = Δq \cdot ℰ$

Для нахождения $Δq$ проанализируем перераспределение зарядов. В конечном состоянии (примем для симметрии, что теперь $C_3$ соединен последовательно с параллельными $C_1$ и $C_2$), заряды на конденсаторах будут:

$q'_3 = \frac{2Cℰ}{3}$

$q'_1 = \frac{Cℰ}{3}$

$q'_2 = \frac{Cℰ}{3}$

Заряд, прошедший через источник, равен сумме зарядов, которые перетекли с одних обкладок на другие через этот источник. Проще всего найти его, проанализировав изменение заряда на конденсаторах, которые меняют свое положение в схеме относительно источника. Например, заряд левого конденсатора изменился с $q_1 = 2Cℰ/3$ до $q'_1 = Cℰ/3$. Разница в заряде $q_1 - q'_1 = Cℰ/3$ должна была перераспределиться в цепи. Эта величина и есть заряд, прошедший через источник в процессе переключения.

$Δq = |q'_1 - q_1| = |\frac{Cℰ}{3} - \frac{2Cℰ}{3}| = \frac{Cℰ}{3}$

Теперь можем найти работу источника и выделившееся тепло:

$Q = A_{ст} = Δq \cdot ℰ = \frac{Cℰ}{3} \cdot ℰ = \frac{Cℰ^2}{3}$

Ответ: $Q = \frac{Cℰ^2}{3}$