Номер 26.1, страница 188 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

26. Электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 26.1, страница 188.

Условие.

26.1. Для измерения сопротивления проводника $\text{R}$ используют одну из двух схем (рис. а, б). Сопротивление проводника вычисляют по приближенной формуле $R = U/I$, где $\text{U}$ — показание вольтметра, $\text{I}$ — показание амперметра. Какая из схем дает меньшую погрешность при измерении больших сопротивлений? Малых сопротивлений? Выведите формулы, позволяющие с помощью этих схем измерить $\text{R}$ как можно более точно, зная сопротивления амперметра $R_A$ и вольтметра $R_V$.

Рис. а

Рис. б

Решение. В схеме а амперметр дает правильные показания — он измеряет силу тока через резистор. А вот вольтметр «лжет»: он измеряет сумму напряжений на резисторе ($U_R$) и амперметре ($U_A$). Поэтому на самом деле $R = \frac{U_R}{I} = \frac{U - U_A}{I} = \frac{U}{I} - R_A$. Измерение по схеме а с использованием указанной в условии приближенной формулы дает малую погрешность для больших сопротивлений $R \gg R_A$ (сопротивление вольтметра при этом несущественно).

Рассматривая аналогично схему б, получаем $ \frac{1}{R} = \frac{I_R}{U} = \frac{I - I_V}{U} = \frac{I}{U} - \frac{1}{R_V} $. Погрешность в таком случае мала для малых сопротивлений $R \ll R_V$ (сопротивление амперметра при этом несущественно).

Решение.

Решение

Для анализа обеих схем введем обозначения: $R$ — искомое сопротивление, $R_A$ — сопротивление амперметра, $R_V$ — сопротивление вольтметра. $U$ и $I$ — показания вольтметра и амперметра соответственно.

Приближенная формула для расчета сопротивления: $R_{изм} = U/I$.

Анализ схемы а

В схеме а амперметр включен последовательно с резистором $R$, поэтому он измеряет ток $I$, действительно протекающий через резистор. Вольтметр подключен параллельно последовательной цепи из резистора $R$ и амперметра. Таким образом, он измеряет суммарное падение напряжения на резисторе ($U_R$) и амперметре ($U_A$):

$U = U_R + U_A$

Истинное сопротивление $R$ определяется как $R = U_R / I$. Измеренное значение $R_{изм,а} = U / I$.

Подставим выражение для $U$:

$R_{изм,а} = (U_R + U_A) / I = U_R / I + U_A / I = R + R_A$

Таким образом, измеренное значение сопротивления больше истинного на величину сопротивления амперметра. Абсолютная погрешность равна $\Delta R_a = R_A$, а относительная погрешность: $\epsilon_a = \Delta R_a / R = R_A / R$.

Погрешность будет мала, если $R_A / R \ll 1$, то есть когда $R \gg R_A$.

Анализ схемы б

В схеме б вольтметр подключен параллельно резистору $R$, поэтому он измеряет истинное напряжение на резисторе: $U = U_R$. Амперметр же включен до разветвления цепи и измеряет общий ток $I$, который равен сумме тока через резистор ($I_R$) и тока через вольтметр ($I_V$):

$I = I_R + I_V$

Истинное сопротивление $R = U / I_R$. Измеренное значение $R_{изм,б} = U / I$.

Подставим выражение для $I$:

$R_{изм,б} = U / (I_R + I_V)$

Выразим токи через напряжения и сопротивления, учитывая, что $I_R = U/R$ и $I_V = U/R_V$:

$R_{изм,б} = U / (U/R + U/R_V) = 1 / (1/R + 1/R_V)$

Отсюда видно, что измеренное сопротивление $R_{изм,б}$ является эквивалентным сопротивлением параллельно соединенных резистора $R$ и вольтметра $R_V$. Оно всегда меньше истинного сопротивления $R$.

Относительная погрешность: $\epsilon_б = |R_{изм,б} - R| / R = |(1 / (1/R + 1/R_V)) - R| / R = |(R R_V / (R + R_V)) - R| / R = |-R^2 / (R(R + R_V))| = R / (R + R_V)$.

Погрешность будет мала, если $R / (R + R_V) \ll 1$, то есть когда $R \ll R_V$.

Какая из схем дает меньшую погрешность при измерении больших сопротивлений?

При измерении больших сопротивлений ($R$ велико) сравним относительные погрешности:

• Схема а: $\epsilon_a = R_A / R$. С ростом $R$ погрешность $\epsilon_a$ уменьшается.
• Схема б: $\epsilon_б = R / (R + R_V) = 1 / (1 + R_V/R)$. С ростом $R$ дробь $R_V/R$ стремится к нулю, а погрешность $\epsilon_б$ стремится к 1 (или 100%).

Следовательно, для измерения больших сопротивлений (в идеале, когда $R \gg R_A$) меньшую погрешность дает схема а.

Ответ: При измерении больших сопротивлений меньшую погрешность дает схема а.

Малых сопротивлений?

При измерении малых сопротивлений ($R$ мало) сравним относительные погрешности:

• Схема а: $\epsilon_a = R_A / R$. С уменьшением $R$ погрешность $\epsilon_a$ растет.
• Схема б: $\epsilon_б = R / (R + R_V)$. С уменьшением $R$ погрешность $\epsilon_б$ также уменьшается.

Следовательно, для измерения малых сопротивлений (в идеале, когда $R \ll R_V$) меньшую погрешность дает схема б.

Ответ: При измерении малых сопротивлений меньшую погрешность дает схема б.

Выведите формулы, позволяющие с помощью этих схем измерить R как можно более точно, зная сопротивления амперметра R_A и вольтметра R_V.

Чтобы найти точное значение $R$, нужно использовать формулы, учитывающие сопротивления измерительных приборов.

Для схемы а мы получили: $U/I = R + R_A$. Отсюда точная формула для $R$:

$R = U/I - R_A$

Для схемы б мы получили: $1 / (U/I) = 1/R + 1/R_V$. Отсюда $I/U = 1/R + 1/R_V$. Выразим $1/R$:

$1/R = I/U - 1/R_V$

Приведя к общему знаменателю и перевернув дробь, получим точную формулу для $R$:

$R = (U \cdot R_V) / (I \cdot R_V - U)$

Ответ: Для схемы а точная формула: $R = U/I - R_A$. Для схемы б точная формула: $1/R = I/U - 1/R_V$ или $R = (U \cdot R_V) / (I \cdot R_V - U)$.