Номер 25.2, страница 180 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 25.2, страница 180.

Условие.

25.2. Конденсатор состоит из трех полосок фольги площадью $S = 4 \text{ см}^2$ каждая, разделенных слоями слюды толщиной $d = 0,2 \text{ мм}$. Крайние полоски фольги соединены между собой (см. рисунок). Какова емкость $\text{C}$ такого конденсатора?

☑ $C = 250 \text{ пФ}$.

Решение. Пластины 1-2 и 2-3 образуют два одинаковых конденсатора, которые соединены параллельно (см. рисунок) емкостью $C_0 = \varepsilon_0 \varepsilon S/d$ каждый (здесь $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость слюды).

Эти конденсаторы соединены между собой параллельно (на них одинаковые напряжения, поскольку $\varphi_1 = \varphi_3$). По-этому $C = 2C_0 = \frac{2\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} = 250 \text{ (пФ)}$.

Решение.

Дано:

Количество полосок фольги: 3

Площадь каждой полоски, $S = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Толщина слоя слюды, $d = 0,2 \text{ мм} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Диэлектрик: слюда. Относительная диэлектрическая проницаемость слюды, $\varepsilon \approx 7$

Электрическая постоянная, $\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Емкость конденсатора, $C$

Решение:

Данная конструкция состоит из трех пластин. Крайние пластины (1 и 3) соединены вместе, образуя один вывод конденсатора, а средняя пластина (2) является вторым выводом. Такая система эквивалентна двум одинаковым плоским конденсаторам, соединенным параллельно. Первый конденсатор образован пластинами 1 и 2, а второй — пластинами 2 и 3.

Поскольку пластины 1 и 3 электрически соединены, они имеют одинаковый потенциал ($φ_1 = φ_3$). Напряжение на первом конденсаторе (между пластинами 1 и 2) равно $U_1 = |φ_1 - φ_2|$. Напряжение на втором конденсаторе (между пластинами 3 и 2) равно $U_2 = |φ_3 - φ_2|$. Так как $φ_1 = φ_3$, то и напряжения на обоих конденсаторах равны: $U_1 = U_2$. Соединение, при котором напряжение на элементах одинаково, является параллельным.

Емкость одного плоского конденсатора, образованного двумя пластинами с диэлектриком между ними, вычисляется по формуле:

$C_0 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

При параллельном соединении двух конденсаторов их общая емкость равна сумме их емкостей. Поскольку оба образованных конденсатора идентичны по параметрам (площадь пластин, расстояние между ними и диэлектрик), их емкости равны $C_1 = C_2 = C_0$.

Тогда общая емкость системы будет:

$C = C_1 + C_2 = 2C_0 = 2 \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Подставим числовые значения в формулу:

$C = 2 \cdot \frac{7 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2)}{2 \cdot 10^{-4} \text{ м}} = 7 \cdot (8,85 \cdot 10^{-12}) \cdot 4 \text{ Ф}$

$C = 28 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 247,8 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Переведем фарады в пикофарады ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C \approx 247,8 \text{ пФ}$

Округляя, получаем значение, близкое к указанному в задачнике.

Ответ: $C \approx 250 \text{ пФ}$.