Номер 101, страница 178 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 101, страница 178.

Условие.

О01. Точечный заряд $+q$ находится на расстоянии $\text{h}$ от большой плоской проводящей пластины. С какой силой $\text{F}$ действует пластина на заряд?

☑ $F = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 h^2}$

Решение. Под действием электрического поля заряда $+q$ в пластине произойдёт разделение зарядов. На ближней к заряду поверхности пластины образуется отрицательный поверхностный заряд $-q$ (на этой поверхности заканчиваются все силовые линии, выходящие из заряда $+q$). Поэтому пластина притянет заряд. Чтобы найти силу этого притяжения, воспользуемся следующим соображением. Электростатическое поле, как известно, не проникает внутрь проводника (область 1 на рис. a).

Рис. a

Это значит, что поля заряда $+q$ и поверхностного заряда пластины компенсируют друг друга во всей области 1. Следовательно, поле поверхностного заряда в области 1 совпадает с полем заряда $-q$, расположенного в той же точке, что и заряд $+q$. Заметим теперь, что поле поверхностного заряда симметрично относительно плоскости поверхности, и поэтому в области 2 оно совпадает с полем точечного заряда $-q$, расположенного симметрично заряду $+q$ относительно этой поверхности (см. рис. б). Это поле действует на заряд $+q$ с силой

$F = k \frac{q^2}{(2h)^2} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 h^2}$.

Рис. б

Использованный здесь метод называется методом изображений: воображаемый заряд $-q$ является как бы изображением реального заряда $+q$ в «зеркальной» поверхности пластины.

Решение.

Дано

Точечный заряд: $q$

Расстояние от заряда до большой плоской проводящей пластины: $h$

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$

Найти:

Сила, с которой пластина действует на заряд: $F$

Решение

Под действием электрического поля, создаваемого точечным зарядом $+q$, в проводящей пластине происходит явление электростатической индукции. Свободные электроны в проводнике притягиваются к заряду $+q$, и на ближней к нему поверхности пластины образуется избыточный отрицательный заряд. На дальней поверхности, соответственно, образуется избыточный положительный заряд (или, если пластина заземлена, электроны приходят из земли). В результате возникает сила притяжения между зарядом $+q$ и индуцированными на пластине зарядами.

Прямой расчет этой силы через интегрирование по распределенному индуцированному заряду сложен. Поэтому для решения этой задачи используется метод изображений. Он заключается в замене проводящей пластины воображаемым (зеркальным) точечным зарядом, который вместе с исходным зарядом создает такое же электрическое поле в пространстве, где находится исходный заряд.

В нашем случае, проводящую плоскость можно заменить воображаемым зарядом $-q$, расположенным симметрично заряду $+q$ относительно плоскости. То есть, этот воображаемый заряд находится на расстоянии $h$ "за" плоскостью.

Таким образом, задача сводится к нахождению силы кулоновского взаимодействия между двумя точечными зарядами: исходным зарядом $+q$ и его изображением $-q$. Расстояние между этими двумя зарядами будет равно $r = h + h = 2h$.

По закону Кулона сила взаимодействия между двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, равна:

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Подставим значения для нашей системы: $q_1 = +q$, $q_2 = -q$, $r = 2h$.

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|(+q)(-q)|}{(2h)^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{4h^2}$

После упрощения получаем итоговую формулу для силы притяжения:

$F = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0h^2}$

Ответ: $F = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0h^2}$