Номер 98, страница 176 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Олимпиадные задачи - номер 98, страница 176.

Условие.

O-98. Внутри полой проводящей незаряженной сферы радиусом $\text{R}$ помещен (не обязательно в центре) маленький шарик с положительным зарядом $\text{Q}$. 1) Какие заряды индуцируются на сфере? Как они распределяются по ней? 2) Какой вид имеет картина силовых линий электрического поля? Чему равен потенциал $\phi$ сферы? 3) Будет ли поле действовать на положительный точечный заряд $\text{q}$ вне сферы, на расстоянии $\text{r}$ от ее центра? Если будет, то с какой силой? Считайте, что $q \ll Q$. 4) Как изменятся распределение зарядов и поля, если сферу заземлить?

Решение. 1) Все силовые линии, выходящие из заряженного шарика, заканчиваются на внутренней поверхности сферы (внутри проводника поля нет). Значит, на внутренней поверхности сферы индуцируется заряд $-Q$, а на внешней — заряд $+Q$. На внутренней поверхности заряд распределяется неравномерно (см. рисунок), а на внешней — равномерно, поскольку в толще металла поле заряженного шарика компенсируется полем заряда $-Q$ на внутренней поверхности.

2) Вид силовых линий показан на рисунке. Потенциал сферы $\varphi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$

3) Поле вне сферы совпадает с полем точечного заряда $\text{Q}$, расположенного в центре сферы, поэтому на точечный заряд $\text{q}$ будет действовать сила отталкивания $F = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$.

Эта сила не изменяется при перемещении шарика внутри сферы: заряд $\text{q}$ взаимодействует не с заряженным шариком, а с зарядами, индуцированными на внешней поверхности сферы. 4) Если сферу заземлить, ее потенциал обратится в нуль вследствие стекания на землю заряда с внешней поверхности. Поле вне сферы при этом исчезнет. Распределение зарядов и поле внутри сферы не изменятся.

Решение.

Дано:

Полая проводящая незаряженная сфера радиусом $R$.
Внутри сферы помещен маленький шарик (точечный заряд) с положительным зарядом $Q$.
Вне сферы на расстоянии $r$ от ее центра находится положительный точечный заряд $q$.
Условие: $q \ll Q$.

Найти:

1) Индуцированные на сфере заряды и их распределение.
2) Картину силовых линий поля и потенциал $\varphi$ сферы.
3) Силу $F$, действующую на заряд $q$.
4) Изменения в распределении зарядов и полей при заземлении сферы.

Решение:

1) Какие заряды индуцируются на сфере? Как они распределяются по ней?

Под действием электрического поля, создаваемого зарядом $Q$ внутри полости, свободные электроны в проводящей сфере приходят в движение. Они притягиваются к положительному заряду $Q$ и скапливаются на внутренней поверхности сферы. Так как сфера изначально была электронейтральна, уход электронов с внешней поверхности приводит к появлению там некомпенсированного положительного заряда.
В соответствии с теоремой Гаусса, для любой замкнутой поверхности, проведенной в толще проводника, поток вектора напряженности электрического поля равен нулю, так как поле внутри проводника в состоянии равновесия равно нулю. Это означает, что полный заряд внутри такой поверхности также равен нулю. Если мы мысленно проведем такую поверхность, охватывающую внутреннюю полость, то суммарный заряд внутри нее (заряд $Q$ и индуцированный на внутренней поверхности заряд $Q_{вн}$) должен быть равен нулю: $Q + Q_{вн} = 0$. Отсюда следует, что на внутренней поверхности сферы индуцируется заряд $Q_{вн} = -Q$.
Поскольку сфера в целом была незаряжена, по закону сохранения заряда, на ее внешней поверхности должен появиться заряд $Q_{внешн} = -Q_{вн} = +Q$.
Распределение зарядов:
- На внутренней поверхности заряд $-Q$ распределяется неравномерно. Он будет более плотным на том участке поверхности, который находится ближе к заряду $Q$.
- На внешней поверхности заряд $+Q$ распределяется равномерно. Это происходит потому, что проводящая оболочка экранирует поле внутренних зарядов ($Q$ и $-Q$), и для внешнего пространства распределение зарядов на внешней поверхности определяется только формой самой поверхности (в данном случае сферической) и отсутствием внешних полей.

Ответ: На внутренней поверхности сферы индуцируется заряд $-Q$, распределенный неравномерно. На внешней поверхности индуцируется заряд $+Q$, распределенный равномерно.

2) Какой вид имеет картина силовых линий электрического поля? Чему равен потенциал φ сферы?

Картина силовых линий имеет следующий вид:
- Внутри полости: силовые линии начинаются на заряде $+Q$ и заканчиваются на индуцированном заряде $-Q$ на внутренней поверхности сферы. Линии подходят к проводящей поверхности перпендикулярно ей.
- В толще проводника: электрическое поле равно нулю, силовых линий нет.
- Вне сферы: поле создается равномерно распределенным по внешней поверхности зарядом $+Q$. Такое поле эквивалентно полю точечного заряда $+Q$, помещенного в центр сферы. Силовые линии радиально расходятся от центра сферы в бесконечность.
Поскольку вся сфера является проводником, все ее точки имеют одинаковый потенциал (она эквипотенциальна). Потенциал можно найти как потенциал на ее внешней поверхности. Поле вне сферы такое же, как у точечного заряда $Q$ в ее центре. Следовательно, потенциал на поверхности сферы радиусом $R$ равен: $ \varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} $ где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Ответ: Силовые линии начинаются на заряде $Q$, заканчиваются на внутренней поверхности сферы, отсутствуют в толще проводника и радиально расходятся от внешней поверхности. Потенциал сферы равен $\varphi = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$.

3) Будет ли поле действовать на положительный точечный заряд q вне сферы, на расстоянии r от ее центра? Если будет, то с какой силой? Считайте, что q ≪ Q.

Да, поле будет действовать на заряд $q$. Как было установлено, электрическое поле вне проводящей сферы полностью определяется зарядом на ее внешней поверхности, который равен $+Q$ и распределен равномерно. Это поле эквивалентно полю точечного заряда $+Q$, расположенного в центре сферы. Проводящая оболочка полностью экранирует поле, создаваемое зарядом $Q$ внутри и индуцированным зарядом $-Q$ на внутренней поверхности.
Таким образом, на заряд $q$, находящийся на расстоянии $r$ от центра, будет действовать сила Кулона со стороны поля, создаваемого сферой. Так как заряды $Q$ и $q$ положительны, это будет сила отталкивания. Величина силы определяется по закону Кулона: $ F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2} $ Условие $q \ll Q$ дано для того, чтобы можно было пренебречь влиянием заряда $q$ на распределение заряда на внешней поверхности сферы.

Ответ: Да, будет действовать сила отталкивания, равная $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$.

4) Как изменятся распределение зарядов и поле, если сферу заземлить?

Заземление означает соединение проводника с Землей, которая является огромным резервуаром зарядов. Потенциал Земли условно принимается равным нулю. При заземлении сферы ее потенциал также станет равным нулю ($\varphi = 0$).
До заземления потенциал сферы был положительным и создавался зарядом $+Q$ на ее внешней поверхности. Чтобы потенциал стал нулевым, этот положительный заряд должен быть нейтрализован. Для этого из Земли на внешнюю поверхность сферы перетечет заряд, равный $-Q$. В результате суммарный заряд на внешней поверхности станет равен нулю.
Распределение зарядов и поле изменятся следующим образом:
- Внутри полости: ничего не изменится. Заряд $Q$ остается на месте, а на внутренней поверхности по-прежнему индуцирован заряд $-Q$ для экранирования поля внутри проводника.
- На внешней поверхности: заряд станет равным нулю ($Q_{внешн} = 0$).
- В толще проводника: поле по-прежнему равно нулю.
- Вне сферы: так как заряд на внешней поверхности равен нулю, а поле внутренних зарядов ($Q$ и $-Q$) полностью экранируется, электрическое поле вне сферы станет равным нулю.

Ответ: Заряд на внутренней поверхности ($-Q$) и поле внутри полости не изменятся. Заряд с внешней поверхности стечет на землю (станет равен нулю), и электрическое поле вне сферы исчезнет (станет равным нулю).