Номер 24.2, страница 170 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.2, страница 170.

Условие.

24.2. Два электрона, находящиеся в начальный момент далеко друг от друга, движутся навстречу вдоль одной прямой с одинаковыми по модулю скоростями $v_0 = 1000 \text{ км/с}$. На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

☑ На 0,25 нм.

Решение. Минимальное расстояние $r_{\min}$ достигается в момент остановки электронов, когда вся их начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную: $2 \cdot \frac{mv_0^2}{2} = k \frac{e^2}{r_{\min}}$. Отсюда $r_{\min} = \frac{ke^2}{mv_0^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 mv_0^2} = 2,5 \cdot 10^{0} \text{ (м)}$.

Решение.

Дано:

Два электрона

Начальная скорость каждого электрона: $v_0 = 1000 \text{ км/с}$

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Заряд электрона: $|q_e| = e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Коэффициент в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 1000 \text{ км/с} = 1000 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

Наименьшее расстояние сближения электронов $r_{min}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Система из двух электронов является замкнутой, и сила кулоновского отталкивания между ними является консервативной.

Полная энергия системы в начальный момент времени (когда электроны находятся далеко друг от друга) равна сумме их кинетических энергий. Потенциальной энергией их взаимодействия можно пренебречь, так как расстояние между ними очень велико ($r \to \infty$).

Начальная энергия системы:

$E_{нач} = K_{нач} + U_{нач} = \left(\frac{m_e v_0^2}{2} + \frac{m_e v_0^2}{2}\right) + 0 = m_e v_0^2$

В момент наибольшего сближения на расстояние $r_{min}$ электроны на мгновение останавливаются относительно друг друга. В системе отсчета, связанной с центром масс, их скорости в этот момент равны нулю. Следовательно, вся начальная кинетическая энергия системы переходит в потенциальную энергию их электростатического взаимодействия.

Конечная энергия системы:

$E_{кон} = K_{кон} + U_{кон} = 0 + k\frac{e \cdot e}{r_{min}} = k\frac{e^2}{r_{min}}$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной:

$E_{нач} = E_{кон}$

$m_e v_0^2 = k\frac{e^2}{r_{min}}$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние $r_{min}$:

$r_{min} = \frac{k e^2}{m_e v_0^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$r_{min} = \frac{(9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с})^2}$

$r_{min} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.566 \cdot 10^{-38}}{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{12}} \text{ м} = \frac{2.309 \cdot 10^{-28}}{9.11 \cdot 10^{-19}} \text{ м}$

$r_{min} \approx 2.53 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$r_{min} \approx 0.253 \text{ нм}$

Округляя, получаем $0.25 \text{ нм}$.

Ответ: наименьшее расстояние, на которое сблизятся электроны, составляет приблизительно $0.25 \text{ нм}$.