Номер 24.1, страница 170 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.1, страница 170.

Условие.

24.1. Пылинка массой $m = 3,0 \cdot 10^{1}$ г покоится между горизонтальными пластинами плоского конденсатора. Под действием ультрафиолетового излучения пылинка потеряла часть заряда и начала опускаться. Чтобы восстановить равновесие, потребовалось увеличить напряжение на $\Delta U = 25$ В. Какой заряд $\Delta q$ потеряла пылинка? Сколько элементарных электрических зарядов он составляет? Расстояние между пластинами конденсатора $d = 5,2$ мм, начальное напряжение $U_0 = 480$ В.

☑ $\Delta q = \frac{mgd\Delta U}{U_0(U_0 + \Delta U)} = 1,6 \cdot 10^{9}$ Кл, $\Delta q = e$.

Решение. Условие равновесия пылинки: $mg = F_к$, где $F = q_0 E = \frac{q_0 U_0}{d}$.

Отсюда находим начальный заряд пылинки $q_0 = \frac{mgd}{U_0}$. Аналогично находим ее конечный заряд: $q = \frac{mgd}{U_0 + \Delta U}$. Следовательно, $\Delta q = \frac{mgd\Delta U}{U_0(U_0 + \Delta U)} = 1,6 \cdot 10^{9}$ (Кл).

Другими словами, при облучении пылинка потеряла один электрон. В задаче описан классический опыт Иоффе-Милликена, доказывающий дискретность электрического заряда.

Решение.

Дано:

Масса пылинки $m = 3.0 \cdot 10^{-11}$ г

Увеличение напряжения $\Delta U = 25$ В

Расстояние между пластинами $d = 5.2$ мм

Начальное напряжение $U_0 = 480$ В

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$m = 3.0 \cdot 10^{-11} \text{ г} = 3.0 \cdot 10^{-14} \text{ кг}$

$d = 5.2 \text{ мм} = 5.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

1. Потерянный заряд $\Delta q$

2. Число элементарных зарядов $N$, составляющих $\Delta q$

Решение:

В начальном состоянии пылинка покоится между пластинами конденсатора. Это означает, что действующая на нее сила тяжести $F_g$ уравновешена электрической силой $F_{E0}$ со стороны поля.

$F_g = F_{E0}$

Сила тяжести определяется как $F_g = mg$, а электрическая сила как $F_{E0} = q_0 E_0$, где $q_0$ - начальный заряд пылинки, а $E_0$ - начальная напряженность поля. Напряженность однородного поля в плоском конденсаторе связана с напряжением $U_0$ и расстоянием между пластинами $d$ соотношением $E_0 = \frac{U_0}{d}$.

Таким образом, условие равновесия имеет вид:

$mg = q_0 \frac{U_0}{d}$

Отсюда можно выразить начальный заряд пылинки:

$q_0 = \frac{mgd}{U_0}$

После облучения ультрафиолетом пылинка теряет часть своего заряда $\Delta q$, и ее новый заряд становится $q = q_0 - \Delta q$. Чтобы снова уравновесить силу тяжести, напряжение на конденсаторе увеличивают до значения $U = U_0 + \Delta U$. Новое условие равновесия:

$mg = q \frac{U}{d} = (q_0 - \Delta q) \frac{U_0 + \Delta U}{d}$

Из этого условия можно выразить конечный заряд пылинки:

$q = \frac{mgd}{U_0 + \Delta U}$

Какой заряд Δq потеряла пылинка?

Потерянный заряд $\Delta q$ равен разности начального и конечного зарядов:

$\Delta q = q_0 - q = \frac{mgd}{U_0} - \frac{mgd}{U_0 + \Delta U}$

Вынесем общий множитель $mgd$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta q = mgd \left(\frac{1}{U_0} - \frac{1}{U_0 + \Delta U}\right) = mgd \frac{(U_0 + \Delta U) - U_0}{U_0(U_0 + \Delta U)} = \frac{mgd\Delta U}{U_0(U_0 + \Delta U)}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$\Delta q = \frac{3.0 \cdot 10^{-14} \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5.2 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 25 \text{ В}}{480 \text{ В} \cdot (480 \text{ В} + 25 \text{ В})} = \frac{3.822 \cdot 10^{-14}}{480 \cdot 505} \text{ Кл} = \frac{3.822 \cdot 10^{-14}}{242400} \text{ Кл}$

$\Delta q \approx 1.577 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$\Delta q \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Ответ: пылинка потеряла заряд $\Delta q \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Сколько элементарных электрических зарядов он составляет?

Чтобы определить, сколько элементарных зарядов $N$ было потеряно, разделим найденный заряд $\Delta q$ на величину элементарного заряда $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

$N = \frac{\Delta q}{e}$

$N \approx \frac{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 1$

Результат, равный единице, означает, что пылинка потеряла один электрон.

Ответ: потерянный заряд составляет 1 элементарный заряд.