Номер 95, страница 169 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 95, страница 169.

Условие.

О-95. Заряженная пылинка массой $\text{m}$ и зарядом $+Q$ движется вертикально вниз в вакууме вдоль линии, проходящей через точку $\text{O}$ (центр квадрата $ABCD$). В вершины квадрата, расположенного вертикально, помещены точечные заряды $+q$, $+q$, $-q$, $-q$ соответственно (заряды $+q$ находятся в двух верхних вершинах). Каково ускорение пылинки в точке $\text{O}$, если сторона квадрата $\text{d}$?

☑ $a = g + \frac{4\sqrt{2}kQq}{md^2}$

Решение.На пылинку действуют силы со стороны зарядов, расположенных в вершинах квадрата, и сила тяжести (см. рисунок).

Найдем расстояние между пылинкой и каждым из зарядов: $r = \frac{1}{2}\sqrt{d^2 + d^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}d$. Тогда модуль силы, с которой действует каждый заряд на пылинку, согласно закону Кулона равен $F_{\text{эл}} = k\frac{2Qq}{d^2}$. Вектор равнодействующей электростатических сил направлен к середине стороны $CD$ и равен $\vec{F} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C + \vec{F}_D$. В проекции на вертикаль получаем: $F = 4F_{\text{эл}} \sin\alpha = 4F_{\text{эл}} \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}F_{\text{эл}} = k\frac{4\sqrt{2}Qq}{d^2}$.

Модуль равнодействующей $\text{R}$ всех сил, действующих на пылинку, равен: $R = F + mg$. Согласно второму закону Ньютона ускорение пылинки равно: $a = \frac{R}{m} = g + k\frac{4\sqrt{2}Qq}{md^2}$.

Решение.

Дано:

Масса пылинки: $m$

Заряд пылинки: $+Q$

Заряды в вершинах квадрата: $+q$ (в точках A, B), $-q$ (в точках C, D)

Сторона квадрата: $d$

Ускорение свободного падения: $g$

Коэффициент в законе Кулона: $k$

Найти:

Ускорение пылинки $a$.

Решение:

На пылинку, находящуюся в центре квадрата O, действуют сила тяжести $\vec{F_g}$ и электростатические силы со стороны четырех зарядов, расположенных в вершинах квадрата. Сила тяжести направлена вертикально вниз, ее модуль равен $F_g = mg$.

Равнодействующая электростатических сил $\vec{F}_{эл, общ}$ также направлена вертикально вниз. Это следует из симметрии расположения зарядов:

• Силы отталкивания от верхних зарядов $+q$ направлены от них, то есть имеют составляющую, направленную вниз.
• Силы притяжения к нижним зарядам $-q$ направлены к ним, то есть также имеют составляющую, направленную вниз.
• Горизонтальные составляющие всех электростатических сил попарно компенсируют друг друга.

Найдем расстояние $r$ от центра квадрата до каждой из его вершин. Оно равно половине длины диагонали квадрата:

$r = \frac{1}{2} \sqrt{d^2 + d^2} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Модуль силы, действующей на пылинку со стороны каждого из четырех зарядов, согласно закону Кулона, одинаков и равен:

$F_{эл} = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{qQ}{\left(\frac{d\sqrt{2}}{2}\right)^2} = k \frac{qQ}{\frac{2d^2}{4}} = k \frac{2qQ}{d^2}$

Угол между направлением силы от каждого заряда и вертикалью составляет $45^\circ$. Поэтому вертикальная составляющая каждой из четырех сил равна $F_{эл, y} = F_{эл} \cos(45^\circ) = F_{эл} \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Модуль равнодействующей электростатической силы равен сумме вертикальных составляющих всех четырех сил:

$F_{эл, общ} = 4 \cdot F_{эл, y} = 4 \cdot \left(k \frac{2qQ}{d^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = k \frac{4\sqrt{2}qQ}{d^2}$

Результирующая сила $R$, действующая на пылинку, равна сумме модулей силы тяжести и равнодействующей электростатической силы, так как они сонаправлены:

$R = F_g + F_{эл, общ} = mg + k \frac{4\sqrt{2}qQ}{d^2}$

Согласно второму закону Ньютона, $R = ma$. Отсюда выразим ускорение $a$:

$ma = mg + k \frac{4\sqrt{2}qQ}{d^2}$

$a = \frac{mg + k \frac{4\sqrt{2}qQ}{d^2}}{m} = g + \frac{4\sqrt{2}kQq}{md^2}$

Ответ: $a = g + \frac{4\sqrt{2}kQq}{md^2}$.