Номер 23.2, страница 164 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 23.2, страница 164.

Условие.

23.2. Два разноименных точечных заряда q и -4q находятся на расстоянии а друг от друга (см. рисунок). Каким должен быть третий заряд Q и где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии?

☑ Заряд Q = -4q нужно расположить на расстоянии а от заряда q и на расстоянии 2а от заряда -4q.

Решение. Определим сначала, где следует расположить заряд Q, чтобы этот заряд находился в равновесии. Очевидно, его следует поместить в точку, в которой напряженность поля двух первых зарядов равна нулю: $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$. Эта точка лежит на проходящей через заряды 1 и 2 прямой, причем вне отрезка 1-2 (в точках на этом отрезке $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены в одну сторону). Чтобы выполнялось условие $E_1 = E_2$, искомая точка должна лежать ближе к меньшему по модулю заряду (см. рисунок).

Из соотношения $k \frac{4q}{(a+x)^2} = k \frac{q}{x^2}$ получаем $x = a$. Найдем теперь модуль и знак заряда Q. Для этого можно использовать условие равновесия любого из зарядов q или -4q.

Удобнее выбрать первый из этих зарядов, поскольку он находится посередине между зарядами Q и -4q. Условие равновесия заряда q имеет вид $Q = -4q$.

Решение.

Дано:

Заряд 1: $q_1 = q$

Заряд 2: $q_2 = -4q$

Расстояние между зарядами 1 и 2: $r_{12} = a$

Найти:

Величину и знак третьего заряда $Q$ и его положение, при которых вся система из трех зарядов будет находиться в равновесии.

Решение:

Для того чтобы система из трех зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая сил, действующих на каждый из трех зарядов, была равна нулю.

1. Определение положения заряда Q

Сначала найдем точку, в которой третий заряд $Q$ будет находиться в равновесии. Это точка, где напряженность электрического поля, создаваемого зарядами $q_1$ и $q_2$, равна нулю. Очевидно, что эта точка должна лежать на прямой, проходящей через заряды $q_1$ и $q_2$.

Рассмотрим три возможных участка на этой прямой:

• Между зарядами $q$ и $-4q$. В этой области векторы напряженности $\vec{E}_1$ (от заряда $q$) и $\vec{E}_2$ (от заряда $-4q$) направлены в одну сторону (к отрицательному заряду $-4q$). Их сумма не может быть равна нулю.
• Справа от заряда $-4q$. В этой области векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены в противоположные стороны. Однако, поскольку $|-4q| > |q|$, любая точка в этой области будет ближе к большему по модулю заряду, и его поле всегда будет сильнее. Равновесие невозможно.
• Слева от заряда $q$. В этой области векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ также направлены в противоположные стороны. Здесь возможно равновесие, так как точка будет ближе к меньшему по модулю заряду $q$ и дальше от большего по модулю заряда $-4q$.

Пусть заряд $Q$ находится на расстоянии $x$ слева от заряда $q$. Тогда расстояние от него до заряда $-4q$ будет равно $(a+x)$. Условие равновесия для заряда $Q$ — равенство модулей напряженностей полей от зарядов $q$ и $-4q$ в этой точке:

$E_1 = E_2$

$k \frac{|q|}{x^2} = k \frac{|-4q|}{(a+x)^2}$

Сократив на $k|q|$, получим:

$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(a+x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ и $a+x$ — расстояния, они положительны):

$\frac{1}{x} = \frac{2}{a+x}$

$a+x = 2x$

$x = a$

Таким образом, заряд $Q$ должен быть расположен на расстоянии $a$ от заряда $q$ на прямой, соединяющей заряды, со стороны меньшего по модулю заряда $q$.

2. Определение величины и знака заряда Q

Теперь, зная положение заряда $Q$, найдем его величину. Для этого запишем условие равновесия для одного из исходных зарядов, например, для заряда $q$. На него действуют две силы: сила притяжения со стороны заряда $-4q$ ($F_{21}$) и сила со стороны заряда $Q$ ($F_{Q1}$).

Сила $F_{21}$ направлена вправо (к заряду $-4q$). Чтобы заряд $q$ был в равновесии, сила $F_{Q1}$ должна быть направлена влево. Так как заряд $Q$ находится слева от $q$, сила $F_{Q1}$ будет направлена влево, только если она является силой притяжения. Это означает, что знаки зарядов $q$ и $Q$ должны быть противоположными. Поскольку $q$ — положительный заряд (по условию $q$ и $-4q$ разноименные), заряд $Q$ должен быть отрицательным.

Запишем равенство модулей сил, действующих на заряд $q$:

$F_{Q1} = F_{21}$

$k \frac{|Q||q|}{x^2} = k \frac{|-4q||q|}{a^2}$

Подставим найденное значение $x=a$:

$k \frac{|Q|q}{a^2} = k \frac{4q \cdot q}{a^2}$

Сокращаем одинаковые множители:

$|Q| = 4q$

Так как мы установили, что заряд $Q$ отрицателен, получаем:

$Q = -4q$

Для полной уверенности можно проверить условие равновесия для заряда $-4q$. На него действует сила притяжения $F_{12}$ со стороны заряда $q$ (направлена влево) и сила $F_{Q2}$ со стороны заряда $Q$ (направлена вправо, так как оба заряда, $Q=-4q$ и $-4q$, отрицательные, и это сила отталкивания). Расстояние между $Q$ и $-4q$ равно $a+x = a+a = 2a$.

$F_{12} = k \frac{|q||-4q|}{a^2} = k \frac{4q^2}{a^2}$

$F_{Q2} = k \frac{|Q||-4q|}{(2a)^2} = k \frac{|-4q||-4q|}{4a^2} = k \frac{16q^2}{4a^2} = k \frac{4q^2}{a^2}$

Силы равны по модулю и противоположны по направлению, значит, заряд $-4q$ также находится в равновесии. Система находится в равновесии.

Ответ: Третий заряд $Q = -4q$ следует расположить на расстоянии $a$ от заряда $q$ (и, соответственно, на расстоянии $2a$ от заряда $-4q$) на прямой, проходящей через эти заряды, со стороны заряда $q$.