Номер 22.8, страница 161 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

22. Изменения агрегатных состояний вещества. Жидкости, пары и твердые тела - номер 22.8, страница 161.

Условие.

22.8. Свинцовая пуля ударяется о стальную плиту и отскакивает от нее. Температура пули перед ударом $t_1 = 50°C$, скорость $v_0 = 400 \, \text{м/с}$, скорость после удара $v = 100 \, \text{м/с}$. Какая часть пули расплавилась, если 60 % потерянной кинетической энергии перешло во внутреннюю энергию пули?

☑ 36 %.

Решение. Внутренняя энергия пули увеличивается на $Q = \eta(mv_0^2/2 - mv^2/2)$, где $\eta = 0,6$. Эта энергия идет на нагревание всей пули до температуры $t_2$, плавления свинца и плавление некоторой массы $m_x$ свинца: $Q = mc(t_2 - t_1) + m_x\lambda$.

Отсюда

$\frac{m_x}{m} = \frac{\eta}{2\lambda}(v_0^2 - v^2) - \frac{c(t_2 - t_1)}{\lambda} = 0,36$.

Решение.

Дано:

Начальная температура свинцовой пули: $t_1 = 50°C$

Скорость пули до удара: $v_0 = 400 \text{ м/с}$

Скорость пули после удара: $v = 100 \text{ м/с}$

Доля потерянной кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю энергию пули: $\eta = 60 \% = 0.6$

Справочные данные для свинца:

Удельная теплоемкость: $c = 130 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$

Температура плавления: $t_2 = 327°C$

Удельная теплота плавления: $\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \text{ Дж/кг}$

Найти:

Отношение массы расплавившейся части пули $m_x$ к ее полной массе $m$: $\frac{m_x}{m}$

Решение:

1. Найдем потерю кинетической энергии пули $\Delta E_k$ в результате удара. Потеря энергии равна разности начальной и конечной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k0} - E_k = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{m(v_0^2 - v^2)}{2}$

2. По условию, $60\%$ этой энергии переходит во внутреннюю энергию пули, то есть идет на ее нагрев и плавление. Обозначим это количество теплоты как $Q$:

$Q = \eta \cdot \Delta E_k = \frac{\eta m(v_0^2 - v^2)}{2}$

3. Полученное пулей тепло $Q$ расходуется на два процесса:

• Нагревание всей массы пули $m$ от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_2$. Количество теплоты, необходимое для этого: $Q_1 = mc(t_2 - t_1)$.
• Плавление некоторой части пули массой $m_x$ при температуре плавления. Количество теплоты, необходимое для этого: $Q_2 = m_x \lambda$.

4. Составим уравнение теплового баланса, приравняв полученную энергию к израсходованной:

$Q = Q_1 + Q_2$

$\frac{\eta m(v_0^2 - v^2)}{2} = mc(t_2 - t_1) + m_x \lambda$

5. Нам необходимо найти отношение $\frac{m_x}{m}$. Для этого разделим обе части уравнения на полную массу пули $m$:

$\frac{\eta (v_0^2 - v^2)}{2} = c(t_2 - t_1) + \frac{m_x}{m} \lambda$

6. Выразим из этого уравнения искомое отношение:

$\frac{m_x}{m} \lambda = \frac{\eta (v_0^2 - v^2)}{2} - c(t_2 - t_1)$

$\frac{m_x}{m} = \frac{\eta (v_0^2 - v^2)}{2\lambda} - \frac{c(t_2 - t_1)}{\lambda}$

7. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\frac{m_x}{m} = \frac{0.6 \cdot (400^2 - 100^2)}{2 \cdot 2.5 \cdot 10^4} - \frac{130 \cdot (327 - 50)}{2.5 \cdot 10^4}$

$\frac{m_x}{m} = \frac{0.6 \cdot (160000 - 10000)}{5 \cdot 10^4} - \frac{130 \cdot 277}{2.5 \cdot 10^4}$

$\frac{m_x}{m} = \frac{0.6 \cdot 150000}{50000} - \frac{36010}{25000}$

$\frac{m_x}{m} = \frac{90000}{50000} - 1.4404 = 1.8 - 1.4404 = 0.3596$

Полученное значение можно округлить до $0.36$. Чтобы выразить это в процентах, умножим на $100\%$:

$0.36 \cdot 100\% = 36\%$

Ответ: расплавилась часть пули, равная $0.36$ или $36\%$.