Номер 22.4, страница 159 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

22. Изменения агрегатных состояний вещества. Жидкости, пары и твердые тела - номер 22.4, страница 159.

Условие.

22.4. Нагретый алюминиевый куб положили на лед, и куб полностью погрузился в лед. До какой температуры $\text{t}$ был нагрет куб? Температура льда $0^\circ\text{C}$, потерями тепла можно пренебречь.

☑ $ t > 125^\circ\text{C}$

Решение. Если верхняя грань куба окажется на уровне льда, объем выплавленной во льду ямки будет равен объему куба $\text{V}$. Тогда уравнение теплового баланса примет вид $\lambda \rho_{\text{л}} V - \rho_{\text{а}} c_{\text{а}} V t = 0$, где $\rho_{\text{л}}$, $\rho_{\text{а}}$ — плотности льда и алюминия. Отсюда $t = \lambda \rho_{\text{л}} / (c_{\text{а}} \rho_{\text{а}}) = 125^\circ\text{C}$. При более высокой температуре $\text{t}$ верхняя грань куба окажется ниже поверхности льда.

Решение.

Дано:

Материал куба — алюминий.
Начальная температура льда $t_{л} = 0 \space °C$.
Конечное состояние — куб полностью погрузился в лед.
Потерями тепла можно пренебречь.

Используем справочные физические величины в системе СИ:
Удельная теплоемкость алюминия: $c_{а} = 900 \space \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Плотность алюминия: $ρ_{а} = 2700 \space \frac{кг}{м^3}$
Удельная теплота плавления льда: $λ = 3.375 \cdot 10^5 \space \frac{Дж}{кг}$
Плотность льда: $ρ_{л} = 900 \space \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Начальную температуру алюминиевого куба $t$.

Решение:

В данной задаче происходит теплообмен между нагретым алюминиевым кубом и льдом. Поскольку система теплоизолирована (потерями тепла можно пренебречь), количество теплоты, отданное кубом при остывании, равно количеству теплоты, полученному льдом для плавления. Это следует из закона сохранения энергии, который для тепловых процессов формулируется как уравнение теплового баланса.

1. Найдем количество теплоты $Q_{отд}$, которое отдает алюминиевый куб.

Пусть $V$ — объем куба, а $t$ — его начальная температура. В процессе теплообмена куб остывает до конечной температуры системы. Так как лед только плавится, но не весь тает (куб погружается в него), конечная температура системы равна температуре плавления льда, то есть $0 \space °C$.

Масса куба $m_{а}$ выражается через его плотность $ρ_{а}$ и объем $V$: $m_{а} = ρ_{а} \cdot V$.

Количество отданной теплоты рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c_{а} \cdot m_{а} \cdot (t - 0 \space °C) = c_{а} \cdot ρ_{а} \cdot V \cdot t$

2. Найдем количество теплоты $Q_{получ}$, которое получает лед.

По условию, куб полностью погрузился в лед. Это означает, что под ним расплавился объем льда, равный как минимум объему самого куба. Рассмотрим пограничный случай, когда объем расплавленного льда $V_{л}$ в точности равен объему куба $V$.

Масса расплавленного льда $m_{л}$ равна: $m_{л} = ρ_{л} \cdot V_{л} = ρ_{л} \cdot V$.

Поскольку лед находится при температуре плавления ($0 \space °C$), вся полученная теплота идет на его переход из твердого состояния в жидкое. Количество теплоты для плавления рассчитывается по формуле:

$Q_{получ} = λ \cdot m_{л} = λ \cdot ρ_{л} \cdot V$

3. Составим уравнение теплового баланса.

$Q_{отд} = Q_{получ}$

$c_{а} \cdot ρ_{а} \cdot V \cdot t = λ \cdot ρ_{л} \cdot V$

Как видно из уравнения, объем куба $V$ сокращается. Это означает, что результат не зависит от размера куба. Выразим из уравнения искомую температуру $t$:

$t = \frac{λ \cdot ρ_{л}}{c_{а} \cdot ρ_{а}}$

4. Подставим числовые значения и произведем расчет.

$t = \frac{3.375 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 900 \frac{кг}{м^3}}{900 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 2700 \frac{кг}{м^3}} = \frac{3.375 \cdot 10^5}{2700} \space °C = \frac{337500}{2700} \space °C = 125 \space °C$

Мы рассчитали температуру, при которой куб расплавит объем льда, в точности равный своему собственному, и погрузится в лед ровно по свою верхнюю грань. Условие "куб полностью погрузился в лед" означает, что его начальная температура была не меньше этого значения. Если бы температура была выше $125 \space °C$, куб расплавил бы больший объем льда и опустился бы ниже уровня поверхности льда.

Ответ: Начальная температура куба была не менее $125 \space °C$, то есть $t \ge 125 \space °C$.