Номер 21.2, страница 155 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 21. Свойства твердых тел. Упражнения - номер 21.2, страница 155.

Условие.

21.2. Из скольких стальных проволок диаметром $d = 2,0 \text{ мм}$ должен состоять трос, рассчитанный на подъем груза массой $m = 16 \text{ т}$?

☑ Не менее чем из 100.

Решение. Обозначим количество проволок $\text{N}$. Механическое напряжение $\sigma = \frac{mg}{NS} = \frac{4mg}{\pi Nd^2}$ не должно превышать предела прочности стали $\sigma_{\text{пч}}$, поэтому минимальное количество проволок $N_{\min} = 4mg/(\pi d^2\sigma_{\text{пч}}) = 100$ (округление до ближайшего целого числа следует в данном случае проводить в сторону увеличения). В реальной ситуации всегда выбирается $N > N_{\min}$.

Отношение $N/N_{\min}$ характеризует так называемый запас прочности.

Решение.

Дано:

Материал проволок - сталь

Диаметр одной проволоки $d = 2,0 \text{ мм}$

Масса груза $m = 16 \text{ т}$

Для расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ и предел прочности стали $\sigma_{пч} \approx 500 \text{ МПа}$ (справочное значение).

Перевод в систему СИ:

$m = 16 \text{ т} = 16 \times 1000 \text{ кг} = 16000 \text{ кг}$

$d = 2,0 \text{ мм} = 2,0 \times 10^{-3} \text{ м}$

$\sigma_{пч} = 500 \text{ МПа} = 500 \times 10^6 \text{ Па} = 5 \times 10^8 \text{ Па}$

Найти:

Минимальное количество проволок $N$

Решение:

Трос должен выдерживать силу тяжести, действующую на груз. Эта сила $F$ равна:

$F = mg = 16000 \text{ кг} \times 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 156800 \text{ Н}$

Механическое напряжение $\sigma$ в материале троса определяется как отношение действующей силы $F$ к общей площади поперечного сечения $S_{общ}$ всех проволок:

$\sigma = \frac{F}{S_{общ}}$

Площадь поперечного сечения одной проволоки $S_1$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_1 = \frac{\pi d^2}{4}$

Если трос состоит из $N$ проволок, то их общая площадь поперечного сечения будет:

$S_{общ} = N \cdot S_1 = N \frac{\pi d^2}{4}$

Подставив это выражение в формулу для напряжения, получим:

$\sigma = \frac{F}{N \frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4F}{N\pi d^2} = \frac{4mg}{N\pi d^2}$

Для того чтобы трос не разорвался, создаваемое в нем напряжение не должно превышать предел прочности стали $\sigma_{пч}$. Условие прочности имеет вид:

$\sigma \le \sigma_{пч}$

$\frac{4mg}{N\pi d^2} \le \sigma_{пч}$

Из этого неравенства выразим минимально необходимое количество проволок $N_{min}$:

$N \ge \frac{4mg}{\pi d^2 \sigma_{пч}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$N \ge \frac{4 \times 16000 \text{ кг} \times 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{\pi \times (2,0 \times 10^{-3} \text{ м})^2 \times 5 \times 10^8 \text{ Па}}$

$N \ge \frac{627200}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \text{ м}^2 \times 5 \times 10^8 \text{ Па}} = \frac{627200}{\pi \times 20 \times 10^2} = \frac{627200}{2000\pi}$

$N \ge \frac{313,6}{\pi} \approx 99,82$

Так как количество проволок может быть только целым числом, и оно должно быть не меньше расчетного значения, чтобы обеспечить прочность, округляем полученный результат до ближайшего целого числа в большую сторону.

$N = 100$

Ответ: трос должен состоять не менее чем из 100 стальных проволок.