Номер 88, страница 152 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 20. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Жидкости, пары и твердые тела - номер 88, страница 152.

Условие.

O-88. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится вода массой $m = 30 \text{ г}$ при температуре $t_1 = 0^\circ C$. Площадь поршня $S = 500 \text{ см}^2$, внешнее давление $p = 10^5 \text{ Па}$. На какую высоту $\text{h}$ поднимется поршень, если находящийся в цилиндре электронагреватель выделит количество теплоты $Q = 25 \text{ кДж}$?

☑ 19 см.

Решение. Для нагревания воды до $t_2 = 100^\circ C$ потребуется количество теплоты $Q_1 = mc(t_2 - t_1) = 12,6 \text{ (кДж)}$. Оставшееся количество теплоты $Q_2 = Q - Q_1 = 12,4 \text{ (кДж)}$ будет затрачено на парообразование. В пар перейдет $m_1 = Q_2 / L = 5,4 \text{ (г)}$ воды, где $\text{L}$ – удельная теплота парообразования воды при $100^\circ C$. Поскольку $m_1 < m$, пар будет насыщенным, и его температура не поднимется выше $100^\circ C$. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона объем пара $V = \frac{m_1 RT}{Mp} = 9,3 \text{ л}$, откуда высота подъема поршня $h = V/S = 19 \text{ (см)}$.

Может возникнуть вопрос: почему при расчете не была учтена работа по подъему поршня $A' = p\Delta V$? Дело в том, что эта работа уже учтена в табличном значении $\text{L}$: ведь если бы даже невесомого поршня не было, пар при расширении должен был бы преодолеть то же самое атмосферное давление.

Решение.

Дано:

$m = 30 \text{ г} = 0.03 \text{ кг}$

$t_1 = 0 \text{ °C}$

$S = 500 \text{ см}^2 = 0.05 \text{ м}^2$

$p = 10^5 \text{ Па}$

$Q = 25 \text{ кДж} = 25000 \text{ Дж}$

Найти:

$h$

Решение:

Процесс, происходящий с водой в цилиндре, можно разделить на два этапа. Сначала вся масса воды нагревается от начальной температуры $t_1 = 0 \text{ °C}$ до температуры кипения $t_2 = 100 \text{ °C}$ (при давлении $p = 10^5 \text{ Па}$). Затем оставшееся количество теплоты идет на парообразование части воды.

1. Найдем количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагрева всей массы воды $m$ от $0 \text{ °C}$ до $100 \text{ °C}$. Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \text{ Дж/(кг·°C)}$.

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг·°C}} \cdot 0.03 \text{ кг} \cdot (100 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 12600 \text{ Дж} = 12.6 \text{ кДж}$

2. Оставшееся количество теплоты $Q_2$ будет затрачено на процесс парообразования.

$Q_2 = Q - Q_1 = 25000 \text{ Дж} - 12600 \text{ Дж} = 12400 \text{ Дж}$

3. Найдем массу воды $m_1$, которая превратится в пар. Удельная теплота парообразования воды $L = 2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}$.

$m_1 = \frac{Q_2}{L} = \frac{12400 \text{ Дж}}{2.26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг}} \approx 0.00549 \text{ кг} = 5.49 \text{ г}$

Поскольку $m_1 < m$ ($0.00549 \text{ кг} < 0.03 \text{ кг}$), не вся вода испарится. В цилиндре будет находиться смесь воды и насыщенного пара при температуре $t_2 = 100 \text{ °C}$ ($T = 373.15 \text{ К}$).

4. Образовавшийся пар будет оказывать давление на поршень и поднимать его. Поскольку поршень невесом, а внешнее давление постоянно, процесс расширения пара будет изобарным (давление пара будет равно внешнему давлению $p = 10^5 \text{ Па}$). Найдем объем $V$, который займет пар, используя уравнение Менделеева-Клапейрона. Молярная масса воды $M = 0.018 \text{ кг/моль}$, универсальная газовая постоянная $R = 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$.

$pV = \frac{m_1}{M}RT$

$V = \frac{m_1 RT}{Mp} = \frac{0.00549 \text{ кг} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot 373.15 \text{ К}}{0.018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 10^5 \text{ Па}} \approx 0.00945 \text{ м}^3$

5. Объем, занятый паром, связан с высотой подъема поршня $h$ и его площадью $S$ соотношением $V = S \cdot h$. Отсюда найдем высоту $h$. Объемом, который занимала вода до испарения, можно пренебречь по сравнению с объемом пара.

$h = \frac{V}{S} = \frac{0.00945 \text{ м}^3}{0.05 \text{ м}^2} = 0.189 \text{ м} = 18.9 \text{ см}$

Стоит отметить, что работа $A' = p\Delta V$, совершаемая паром при подъеме поршня, не учитывается в уравнении теплового баланса отдельно, так как она уже включена в табличное значение удельной теплоты парообразования $L$. Эта величина (энтальпия парообразования) представляет собой сумму энергии, необходимой для увеличения внутренней энергии вещества и совершения работы против внешнего давления при фазовом переходе.

Ответ: $h \approx 19 \text{ см}$.