Номер 91, страница 154 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 20. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Жидкости, пары и твердые тела - номер 91, страница 154.

Условие.

O-91. При сжатии некоторой порции влажного воздуха его объем уменьшился в четыре раза, а давление возросло в три раза. Когда воздух сжали еще в два раза, давление стало в пять раз больше первоначального. Температура при сжатии оставалась постоянной. Какова была относительная влажность воздуха $\phi$ в самом начале?

☑ 50 %.

Решение. Уже при первом сжатии давление выросло менее, чем в четыре раза, — значит, пар стал насыщенным и произошла частичная его конденсация. Поэтому давление пара $p_{\text{н}}$ после первого и второго сжатия одинаково. Обозначим начальное парциальное давление пара $p_{\text{н}}$, а воздуха $p_{\text{в}}$. Парциальное давление воздуха изменялось при изотермическом сжатии обратно пропорционально объему: после первого сжатия оно стало равным $4p_{\text{в}}$, а после второго $8p_{\text{в}}$. Полное давление влажного воздуха сначала равнялось $p_{\text{н}} + p_{\text{в}}$, после первого сжатия стало $p_{\text{н}} + 4p_{\text{в}}$, а после второго $p_{\text{н}} + 8p_{\text{в}}$.

Согласно условию $p_{\text{н}} + 4p_{\text{в}} = 3(p_{\text{н}} + p_{\text{в}})$, $p_{\text{н}} + 8p_{\text{в}} = 5(p_{\text{н}} + p_{\text{в}})$. Исключая из этих уравнений $p_{\text{в}}$, находим $p_{\text{н}} = 2p_{\text{в}}$.

Отсюда $\phi = \frac{p_{\text{н}}}{P_{\text{н}}} \cdot 100\% = 50\%$.

Решение.

Дано:

Первое сжатие: $V_1 = V_0 / 4$, $P_1 = 3 P_0$

Второе сжатие: $V_2 = V_1 / 2 = V_0 / 8$, $P_2 = 5 P_0$

Процесс изотермический: $T = \text{const}$

Найти:

Начальную относительную влажность $\phi$.

Решение:

Полное давление влажного воздуха по закону Дальтона равно сумме парциальных давлений сухого воздуха ($p_в$) и водяного пара ($p_п$).

В начальном состоянии: $P_0 = p_{в0} + p_{п0}$.

Так как процесс изотермический, для сухого воздуха выполняется закон Бойля-Мариотта ($p_в V = \text{const}$).

После первого сжатия объем уменьшился в 4 раза, следовательно, парциальное давление сухого воздуха увеличилось в 4 раза:

$p_{в1} = p_{в0} \frac{V_0}{V_1} = p_{в0} \frac{V_0}{V_0/4} = 4p_{в0}$.

После второго сжатия общий объем уменьшился в 8 раз по сравнению с начальным, значит, парциальное давление сухого воздуха увеличилось в 8 раз:

$p_{в2} = p_{в0} \frac{V_0}{V_2} = p_{в0} \frac{V_0}{V_0/8} = 8p_{в0}$.

Проанализируем состояние водяного пара. Если бы пар оставался ненасыщенным, его давление после первого сжатия также увеличилось бы в 4 раза. Тогда общее давление стало бы равным $P_{1,гип} = p_{в1} + 4p_{п0} = 4p_{в0} + 4p_{п0} = 4(p_{в0} + p_{п0}) = 4P_0$.

Однако по условию давление стало равным $P_1 = 3P_0$. Поскольку $3P_0 < 4P_0$, это означает, что водяной пар достиг насыщения и его часть сконденсировалась. Давление пара стало равным давлению насыщенного пара $p_н$ при данной температуре.

Таким образом, после первого сжатия $p_{п1} = p_н$. При дальнейшем изотермическом сжатии пар останется насыщенным, поэтому $p_{п2} = p_н$.

Теперь мы можем составить систему уравнений для состояний после первого и второго сжатий, используя полное давление:

1) $P_1 = p_{в1} + p_{п1} \implies 3P_0 = 4p_{в0} + p_н$

2) $P_2 = p_{в2} + p_{п2} \implies 5P_0 = 8p_{в0} + p_н$

Подставим в оба уравнения выражение для начального давления $P_0 = p_{в0} + p_{п0}$:

1) $3(p_{в0} + p_{п0}) = 4p_{в0} + p_н$

2) $5(p_{в0} + p_{п0}) = 8p_{в0} + p_н$

Упростим эти уравнения:

1) $3p_{в0} + 3p_{п0} = 4p_{в0} + p_н \implies p_{в0} = 3p_{п0} - p_н$

2) $5p_{в0} + 5p_{п0} = 8p_{в0} + p_н \implies 3p_{в0} = 5p_{п0} - p_н$

Подставим выражение для $p_{в0}$ из первого упрощенного уравнения во второе:

$3(3p_{п0} - p_н) = 5p_{п0} - p_н$

$9p_{п0} - 3p_н = 5p_{п0} - p_н$

$4p_{п0} = 2p_н$

Отсюда находим соотношение между начальным парциальным давлением пара и давлением насыщенного пара:

$p_н = 2p_{п0}$

Начальная относительная влажность $\phi$ определяется по формуле:

$\phi = \frac{p_{п0}}{p_н} \cdot 100\%$

Подставим найденное соотношение:

$\phi = \frac{p_{п0}}{2p_{п0}} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: начальная относительная влажность воздуха была 50 %.