Номер 20.7, страница 151 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 20. Насыщенные и ненасыщенные пары. Влажность воздуха. Упражнения - номер 20.7, страница 151.

Условие.

20.7. В цилиндре под поршнем находится воздух, имеющий температуру $t_1 = 10^\circ \text{C}$ и относительную влажность $\varphi_1 = 60 \%$. Какой станет относительная влажность этого воздуха после нагревания его до температуры $t_2 = 100^\circ \text{C}$ и уменьшения объема втрое? Как изменится ответ, если $t_1 = 90^\circ \text{C}$?

☑ 2,9 %; 100 %.

Решение. Поскольку $t_2$ совпадает с температурой кипения воды при нормальном атмосферном давлении $p_a$, давление насыщенного водяного пара при этой температуре $p_{H2} = p_a = 101 \text{ кПа}$. Из уравнения состояния идеального газа следует: $p_2 = 3p_1T_2/T_1$, где $p_1$ и $p_2$ — начальное и конечное значения парциального давления водяного пара.

Используя (дважды) соотношение $\varphi = \frac{p}{p_H} \cdot 100 \%$, находим

$\varphi = \frac{3p_{H1}T_2}{p_{H2}T_1}\varphi_1 = 2,9 \%$.

При более сильном сжатии и/или более высокой начальной температуре полученный по этой формуле ответ может превысить $100 \%$, что как раз имеет место при $t_1 = 90^\circ \text{C}$. Это означает, что на самом деле $\varphi = 100 \%$ и произошла частичная конденсация пара.

Решение.

Какой станет относительная влажность этого воздуха после нагревания его до температуры $t_2 = 100^\circ C$ и уменьшения объема втрое?

Дано:
Начальная температура: $t_1 = 10^\circ C$
Начальная относительная влажность: $\phi_1 = 60\%$
Конечная температура: $t_2 = 100^\circ C$
Соотношение объемов: $V_2 = V_1 / 3$

$T_1 = 10 + 273,15 = 283,15$ К
$\phi_1 = 0,6$
$T_2 = 100 + 273,15 = 373,15$ К
Из таблиц термодинамических свойств воды:
Давление насыщенного пара при $t_1 = 10^\circ C$: $p_{н1} = 1,228$ кПа
Давление насыщенного пара при $t_2 = 100^\circ C$: $p_{н2} = 101,325$ кПа (равно нормальному атмосферному давлению)

Найти:
Конечная относительная влажность $\phi_2$.

Решение:
Относительная влажность воздуха определяется формулой: $\phi = \frac{p}{p_н}$, где $p$ – парциальное давление водяного пара, а $p_н$ – давление насыщенного пара при данной температуре.
Начальное парциальное давление водяного пара: $p_1 = \phi_1 \cdot p_{н1}$.
При изменении состояния газа (нагревании и сжатии) будем считать водяной пар идеальным газом. Если количество вещества (масса пара) не меняется, то для него справедлив объединенный газовый закон: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$
Отсюда можем выразить конечное парциальное давление $p_2$: $p_2 = p_1 \frac{V_1 T_2}{V_2 T_1}$
Подставим известные соотношения $V_1 = 3V_2$ и $p_1 = \phi_1 p_{н1}$: $p_2 = (\phi_1 p_{н1}) \frac{3V_2 T_2}{V_2 T_1} = 3 \phi_1 p_{н1} \frac{T_2}{T_1}$
Конечная относительная влажность $\phi_2$ равна: $\phi_2 = \frac{p_2}{p_{н2}} = \frac{3 \phi_1 p_{н1} T_2}{p_{н2} T_1}$
Подставим численные значения (для удобства расчетов можно использовать температуры в Кельвинах, округленные до целых: $T_1 \approx 283$ К, $T_2 \approx 373$ К): $\phi_2 = \frac{3 \cdot 0,6 \cdot 1,228 \text{ кПа} \cdot 373,15 \text{ К}}{101,325 \text{ кПа} \cdot 283,15 \text{ К}} \approx 0,0288$
Переводя в проценты, получаем: $\phi_2 \approx 2,88\%$.
Полученное значение меньше 100%, это означает, что пар остался ненасыщенным и конденсации не произошло. Расчет верен.
Ответ: 2,9 %.

Как изменится ответ, если $t_1 = 90^\circ C$?

Дано:
Начальная температура: $t_1 = 90^\circ C$
Начальная относительная влажность: $\phi_1 = 60\%$
Конечная температура: $t_2 = 100^\circ C$
Соотношение объемов: $V_2 = V_1 / 3$

$T_1 = 90 + 273,15 = 363,15$ К
$\phi_1 = 0,6$
$T_2 = 100 + 273,15 = 373,15$ К
Из таблиц термодинамических свойств воды:
Давление насыщенного пара при $t_1 = 90^\circ C$: $p_{н1} = 70,14$ кПа
Давление насыщенного пара при $t_2 = 100^\circ C$: $p_{н2} = 101,325$ кПа

Найти:
Конечная относительная влажность $\phi_2$.

Решение:
Воспользуемся той же формулой для расчета конечной относительной влажности, предполагая, что вся масса пара сохранилась: $\phi_2 = \frac{3 \phi_1 p_{н1} T_2}{p_{н2} T_1}$
Подставим новые значения: $\phi_2 = \frac{3 \cdot 0,6 \cdot 70,14 \text{ кПа} \cdot 373,15 \text{ К}}{101,325 \text{ кПа} \cdot 363,15 \text{ К}} \approx 1,279$
Полученное значение $\phi_2 \approx 127,9\%$. Однако относительная влажность не может превышать 100%. Это означает, что наше первоначальное предположение о сохранении массы пара неверно. В процессе нагревания и сжатия парциальное давление пара достигло значения давления насыщенного пара при конечной температуре $t_2 = 100^\circ C$, и началась конденсация. Дальнейшее сжатие/нагревание происходило при постоянном парциальном давлении, равном $p_{н2}$.
Таким образом, конечное парциальное давление пара будет равно давлению насыщенного пара при $100^\circ C$: $p_2 = p_{н2}$.
Тогда конечная относительная влажность будет: $\phi_2 = \frac{p_2}{p_{н2}} = \frac{p_{н2}}{p_{н2}} = 1$
Ответ: 100 %.