Номер 87, страница 147 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 19. Свойства жидкостей. Жидкости, пары и твердые тела - номер 87, страница 147.

Условие.

О-87. В длинном открытом с обеих сторон вертикальном капилляре находится столбик воды высотой 2,0 см. Каков радиус $\text{r}$ кривизны нижнего мениска, если внутренний радиус капилляра $R = 0,50$ мм? Как изменится ответ, если высота столбика воды удвоится?

☑ В обоих случаях $r = 1,5$ мм, но в первом случае выпуклость мениска обращена внутрь, а во втором — наружу.

Решение. В обоих случаях радиус кривизны верхнего мениска равен $\text{R}$. Поэтому давление в воде непосредственно под верхним мениском $p_{\text{в}} = p_{\text{а}} - 2\sigma/R$. Давление в жидкости у нижнего мениска $p_{\text{н}} = p_{\text{в}} + \rho gh$, где $\text{h}$ — длина столбика воды. Это давление отличается от атмосферного на величину $\Delta p = p_{\text{н}} - p_{\text{а}} = \rho gh - 2\sigma/R$. Поскольку $|\Delta p| = 2\sigma/r$, получаем $r = \frac{2\sigma}{|\rho gh - 2\sigma/R|}$. При $\Delta p < 0$ выпуклость нижнего мениска обращена вверх, при $\Delta p > 0$ вниз (при $\Delta p = 0$ нижний мениск плоский). На рис. а и б показана форма нижнего мениска соответственно при $h = 2,0$ см и $h = 4,0$ см. В обоих случаях $r = 1,5$ мм.

Рис. а

Рис. б

Решение.

Каков радиус r кривизны нижнего мениска, если высота столбика воды h = 2,0 см?

Дано:
Высота столбика воды: $h_1 = 2,0$ см
Внутренний радиус капилляра: $R = 0,50$ мм
Плотность воды (табличное значение): $\rho \approx 1000$ кг/м³
Коэффициент поверхностного натяжения воды (табличное значение): $\sigma \approx 0,073$ Н/м
Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$h_1 = 0,02$ м
$R = 0,5 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:
Радиус кривизны нижнего мениска $r_1$.

Решение:

Столбик воды в вертикальном капилляре, открытом с обеих сторон, находится в равновесии. Давление снаружи капилляра, как сверху, так и снизу, равно атмосферному давлению $p_a$.

Поскольку вода смачивает стекло, верхний мениск является вогнутым. Давление в воде непосредственно под этой искривленной поверхностью ($p_в$) меньше атмосферного на величину дополнительного давления Лапласа. При условии полного смачивания, радиус кривизны верхнего мениска равен радиусу капилляра $R$.

$p_в = p_a - \frac{2\sigma}{R}$

Давление в воде на глубине $h_1$, то есть на уровне нижнего мениска ($p_н$), складывается из давления под верхним мениском и гидростатического давления столбика воды:

$p_н = p_в + \rho g h_1 = p_a - \frac{2\sigma}{R} + \rho g h_1$

Разность давлений по обе стороны от нижнего мениска ($\Delta p_1$) определяет его форму и кривизну:

$\Delta p_1 = p_н - p_a = \left( p_a - \frac{2\sigma}{R} + \rho g h_1 \right) - p_a = \rho g h_1 - \frac{2\sigma}{R}$

Эта разность давлений также является лапласовским давлением для нижнего мениска с радиусом кривизны $r_1$:

$|\Delta p_1| = \frac{2\sigma}{r_1}$

Из этого соотношения выражаем искомый радиус кривизны $r_1$:

$r_1 = \frac{2\sigma}{|\Delta p_1|} = \frac{2\sigma}{|\rho g h_1 - \frac{2\sigma}{R}|}$

Проведем вычисления. Сначала найдем значения гидростатического и лапласовского давлений:

$\rho g h_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,02 \text{ м} = 196$ Па.

$\frac{2\sigma}{R} = \frac{2 \cdot 0,073 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 292$ Па.

Теперь вычислим разность давлений $\Delta p_1$:

$\Delta p_1 = 196 \text{ Па} - 292 \text{ Па} = -96$ Па.

Отрицательный знак $\Delta p_1$ означает, что давление внутри жидкости у нижнего мениска ($p_н$) ниже, чем внешнее атмосферное давление ($p_a$). Это приводит к образованию вогнутого мениска, выпуклость которого направлена внутрь столбика воды (вверх).

Наконец, рассчитаем радиус кривизны $r_1$:

$r_1 = \frac{2\sigma}{|-96 \text{ Па}|} = \frac{2 \cdot 0,073 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{96 \text{ Па}} \approx 0,00152$ м.

$r_1 \approx 1,52$ мм.

Ответ: Радиус кривизны нижнего мениска составляет примерно 1,5 мм. Мениск является вогнутым (его выпуклость направлена внутрь столбика воды).

Как изменится ответ, если высота столбика воды удвоится?

Дано:
Новая высота столбика воды: $h_2 = 2 \cdot h_1 = 2 \cdot 2,0 \text{ см} = 4,0$ см

Перевод в систему СИ:
$h_2 = 0,04$ м

Найти:
Новый радиус кривизны $r_2$ и характер изменения формы мениска.

Решение:

Используем ту же самую общую формулу для радиуса кривизны нижнего мениска, подставив в нее новую высоту $h_2$:

$r_2 = \frac{2\sigma}{|\rho g h_2 - \frac{2\sigma}{R}|}$

Лапласовское давление, связанное с верхним мениском, не изменилось: $\frac{2\sigma}{R} = 292$ Па.

Вычислим новое значение гидростатического давления:

$\rho g h_2 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,04 \text{ м} = 392$ Па.

Найдем новую разность давлений $\Delta p_2$:

$\Delta p_2 = \rho g h_2 - \frac{2\sigma}{R} = 392 \text{ Па} - 292 \text{ Па} = 100$ Па.

Положительный знак $\Delta p_2$ указывает на то, что давление внутри жидкости у нижнего мениска ($p_н$) теперь выше, чем внешнее атмосферное давление ($p_a$). Это приводит к образованию выпуклого мениска, выпуклость которого направлена наружу из столбика воды (вниз).

Рассчитаем новый радиус кривизны $r_2$:

$r_2 = \frac{2\sigma}{|100 \text{ Па}|} = \frac{2 \cdot 0,073 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{100 \text{ Па}} = 0,00146$ м.

$r_2 \approx 1,46$ мм.

Сравнивая полученные значения ($r_1 \approx 1,52$ мм и $r_2 \approx 1,46$ мм), можно заключить, что величина радиуса кривизны изменилась незначительно (оба значения при округлении до десятых долей миллиметра равны 1,5 мм). Однако форма мениска качественно изменилась: он стал выпуклым вместо вогнутого.

Ответ: При удвоении высоты столбика воды радиус кривизны нижнего мениска практически не изменится и составит приблизительно 1,5 мм. Однако форма мениска изменится с вогнутой на выпуклую (выпуклость будет направлена наружу).