Номер 86, страница 146 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 19. Свойства жидкостей. Жидкости, пары и твердые тела - номер 86, страница 146.

Условие.

O-86. Капиллярная стеклянная трубка радиусом $\text{r}$ и высотой $\text{h}$ соединена с широким и высоким сосудом (см. рисунок). Сосуд постепенно заполняется каплями воды, падающими через равные промежутки времени. Постройте графики зависимостей от времени уровней воды в трубке и сосуде, а также разности этих уровней.

☑ См. рис. а, б, в (при $h < \frac{2\sigma}{\rho gr}$) и рис. г, д, е (при $h > \frac{2\sigma}{\rho gr}$).

Здесь $H_k$ и $\text{H}$ — высоты уровней воды соответственно в капилляре и в сосуде; $\Delta H = H_k - H$.

Решение. Обозначим через $H_k$ и $\text{H}$ высоту уровня воды соответственно в капилляре и в широком сосуде. $\Delta H = H_k - H$. Будем считать широкую трубку настолько высокой, что вода не достигает ее края. Рассмотрим два случая.

1. $h < \frac{2\sigma}{\rho gr}$.

В этом случае капилляр заполнится, когда широкий сосуд будет еще практически пуст. Только после этого начнет заполняться (естественно, намного медленнее) широкий сосуд. При этом форма мениска в капилляре будет меняться от вогнутой до плоской (при $\Delta H = 0$) и затем выпуклой (при $\Delta H < 0$). Когда $\text{H}$ достигнет значения $h + \frac{2\sigma}{\rho gr}$, вода начнет выливаться из капилляра и повышение уровня воды прекратится.

Графики $H_k(t)$, $H(t)$, $\Delta H(t)$ приведены на рис. а, б, в.

2. $h > \frac{2\sigma}{\rho gr}$.

В отличие от предыдущего случая теперь, начиная с некоторого момента, уровень воды растет с одинаковой скоростью в капилляре и в широком сосуде, так что $\Delta H = \frac{2\sigma}{\rho gr} = \text{const}$. Так продолжается, пока вода не заполнит капилляр полностью.

Соответствующие графики приведены на рис. г, д, е. Обратим внимание, что $|\Delta H|$ во всех случаях не превышает $\frac{2\sigma}{\rho gr}$.

Решение.

Обозначим через $H_к$ высоту уровня воды в капилляре, а через $H$ — высоту уровня воды в широком сосуде. Разность уровней составляет $\Delta H = H_к - H$. Поведение системы зависит от соотношения между высотой капилляра $h$ и максимальной высотой капиллярного подъема, которая для случая полного смачивания (вода и стекло) определяется формулой Жюрена: $h_{max} = \frac{2\sigma}{\rho g r}$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $r$ — радиус капилляра.

Рассмотрим два случая.

1. $h < \frac{2\sigma}{\rho g r}$ (рис. а, б, в)

В этом случае высота капилляра меньше максимально возможной высоты капиллярного подъема.

Решение
Поскольку сосуд заполняется постепенно, вначале вода, благодаря капиллярным силам, будет быстро заполнять капилляр. Уровень воды в широком сосуде $H$ при этом будет практически равен нулю. Уровень в капилляре $H_к$ будет линейно расти со временем до тех пор, пока не достигнет края капилляра, то есть $H_к = h$. На этом этапе разность уровней $\Delta H = H_к - H \approx H_к$ также линейно растет от 0 до $h$.

После того как капилляр заполнится ($H_к = h$), начнет заполняться широкий сосуд. Уровень $H_к$ остается постоянным и равным $h$. Уровень $H$ начинает линейно расти от нуля. Разность уровней $\Delta H = h - H$ начинает линейно уменьшаться от значения $h$.

По мере роста уровня $H$ в широком сосуде, разность уровней $\Delta H$ уменьшается, что приводит к изменению формы мениска в капилляре. Когда $H=h$, разность уровней $\Delta H = 0$, и мениск становится плоским. При дальнейшем увеличении $H$, разность уровней становится отрицательной ($\Delta H < 0$), и мениск становится выпуклым. Максимальное "выталкивающее" давление, которое может создать выпуклый мениск, соответствует разности уровней $\Delta H = -\frac{2\sigma}{\rho g r}$. Это произойдет, когда уровень в широком сосуде достигнет значения $H = h + \frac{2\sigma}{\rho g r}$. После этого вода начнет выливаться из капилляра, и дальнейшего повышения уровней не произойдет.

Таким образом:

• График $H_к(t)$ (рис. а): Линейный рост до $h$, затем постоянное значение $h$.
• График $H(t)$ (рис. б): Уровень равен нулю, пока капилляр не заполнится, затем линейный рост до значения $h + \frac{2\sigma}{\rho g r}$, после чего уровень становится постоянным.
• График $\Delta H(t)$ (рис. в): Линейный рост до $h$, затем линейное падение до $-\frac{2\sigma}{\rho g r}$, после чего значение становится постоянным.

Ответ: Процесс описывается графиками, приведенными на рис. а, б, в.

2. $h > \frac{2\sigma}{\rho g r}$ (рис. г, д, е)

В этом случае высота капилляра больше максимально возможной высоты капиллярного подъема.

Решение
С самого начала заполнения системы капиллярные силы поднимут воду на максимально возможную высоту относительно уровня в широком сосуде. Это означает, что разность уровней $\Delta H$ почти мгновенно установится и будет оставаться постоянной, равной $h_{max} = \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

Поскольку $\Delta H = H_к - H = \frac{2\sigma}{\rho g r} = \text{const}$, уровни в обоих сосудах ($H_к$ и $H$) будут расти с одинаковой скоростью. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока уровень воды в капилляре не достигнет его верхнего края, то есть пока $H_к$ не станет равным $h$. В этот момент уровень воды в широком сосуде будет равен $H = H_к - \Delta H = h - \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

После того как капилляр заполнится ($H_к = h$), дальнейший процесс будет аналогичен случаю 1. Уровень $H_к$ останется постоянным, а уровень $H$ продолжит расти. Разность уровней $\Delta H = h - H$ начнет линейно уменьшаться от значения $\frac{2\sigma}{\rho g r}$. Как и в предыдущем случае, процесс остановится, когда $\Delta H$ достигнет значения $-\frac{2\sigma}{\rho g r}$, что соответствует уровню в широком сосуде $H = h + \frac{2\sigma}{\rho g r}$.

Таким образом:

• График $H_к(t)$ (рис. г): Линейный рост от 0 до $h$ (начиная с некоторого начального значения, определяемого начальным подъемом), затем постоянное значение $h$.
• График $H(t)$ (рис. д): Линейный рост до $h + \frac{2\sigma}{\rho g r}$ с той же скоростью, что и $H_к$ на первом этапе, после чего уровень становится постоянным.
• График $\Delta H(t)$ (рис. е): Вначале быстрый рост до $\frac{2\sigma}{\rho g r}$, затем это значение остается постоянным, пока $H_к < h$. После заполнения капилляра $\Delta H$ линейно уменьшается до $-\frac{2\sigma}{\rho g r}$, а затем остается постоянным.

Ответ: Процесс описывается графиками, приведенными на рис. г, д, е.