Номер 83, страница 143 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 19. Свойства жидкостей. Жидкости, пары и твердые тела - номер 83, страница 143.

Условие.

O-83. На четыре ртутных шарика радиусом $r_0 = 1 \text{ мм}$, лежащих на горизонтальном стекле, осторожно положили квадратную стеклянную пластинку массой $m = 80 \text{ г}$ (на рисунке показан вид сверху). Каким будет зазор $\text{d}$ между стеклом и пластинкой?

☑ 0,15 мм.

Решение. Пластинка давит на каждый из ртутных шариков с силой $\frac{mg}{4}$. В результате каждый из шариков сплющивается в «блин» толщиной $\text{d}$ и радиусом $\text{R}$ (см. рисунок).

Будем предполагать, что $d \ll R$. Объем «блина» $\pi R^2 d$ должен совпадать с начальным объемом шарика $\frac{4\pi r_0^3}{3}$.

Давление внутри «блина» (избыточное над атмосферным) обусловлено кривизной боковой поверхности «блина». Поскольку $d \ll R$, это давление совпадает с давлением цилиндрического мениска радиусом $\frac{d}{2}$, т. е. $p = \frac{2\sigma}{d}$. С другой стороны, $p = \frac{mg}{4\pi R^2}$, поэтому $\frac{mg}{4\pi R^2} = \frac{2\sigma}{d}$. Используя условие постоянства объема, находим

$d = 4r_0 \sqrt{\frac{2\pi\sigma}{3mg}} = 0,15 \text{ (мм)}$.

Чтобы проверить справедливость сделанного выше предположения $d \ll R$, вычислим

$R = \sqrt[4]{\frac{mgr_0^3}{6\pi\sigma}} = 3,0 \text{(мм)}$.

Таким образом, сделанное предположение подтвердилось.

Решение.

Дано:

$N = 4$ (количество шариков)

$r_0 = 1 \text{ мм}$

$m = 80 \text{ г}$

Для расчетов также потребуются справочные данные:

Коэффициент поверхностного натяжения ртути: $\sigma \approx 0,465 \text{ Н/м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$r_0 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$m = 80 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,08 \text{ кг}$

Найти:

$d$ — зазор между стеклом и пластинкой.

Решение:

Сила тяжести стеклянной пластинки $F_{т} = mg$ равномерно распределяется между четырьмя ртутными шариками. Следовательно, на каждый шарик действует сила $F$, равная:

$F = \frac{mg}{4}$

Под действием этой силы каждый шарик сплющивается, превращаясь из сферы в плоский диск (или "блин") толщиной $d$ (искомый зазор) и радиусом $R$. Будем исходить из предположения, что толщина диска значительно меньше его радиуса, то есть $d \ll R$.

Объем ртути в процессе деформации не меняется. Приравняем начальный объем шарика $V_0$ и объем получившегося диска $V$ (который аппроксимируем объемом цилиндра):

$V_0 = \frac{4}{3}\pi r_0^3$

$V = \pi R^2 d$

Из условия сохранения объема $V_0 = V$ получаем:

$\frac{4}{3}\pi r_0^3 = \pi R^2 d$

Отсюда можно выразить $R^2$:

$R^2 = \frac{4r_0^3}{3d}$

Давление $p_{мех}$, которое сила $F$ создает на поверхность шарика площадью $\pi R^2$, составляет:

$p_{мех} = \frac{F}{\pi R^2} = \frac{mg/4}{\pi R^2} = \frac{mg}{4\pi R^2}$

Это внешнее давление уравновешивается избыточным давлением $p_{лапл}$ внутри ртути, которое возникает из-за кривизны ее боковой поверхности (эффект поверхностного натяжения). В нашем предположении $d \ll R$ боковая поверхность сплющенного шарика представляет собой цилиндрический мениск, радиус кривизны которого равен $d/2$. Давление Лапласа для такой поверхности равно:

$p_{лапл} = \frac{2\sigma}{d}$

В состоянии равновесия эти два давления равны: $p_{мех} = p_{лапл}$.

$\frac{mg}{4\pi R^2} = \frac{2\sigma}{d}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $d$ и $R$:

1) $R^2 = \frac{4r_0^3}{3d}$

2) $\frac{mg}{4\pi R^2} = \frac{2\sigma}{d}$

Подставим выражение для $R^2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{mg}{4\pi \left(\frac{4r_0^3}{3d}\right)} = \frac{2\sigma}{d}$

$\frac{3mgd}{16\pi r_0^3} = \frac{2\sigma}{d}$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$3mgd^2 = 32\pi\sigma r_0^3$

$d^2 = \frac{32\pi\sigma r_0^3}{3mg}$

$d = \sqrt{\frac{32\pi\sigma r_0^3}{3mg}} = 4r_0\sqrt{\frac{2\pi\sigma r_0}{3mg}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$d = 4 \cdot (1 \cdot 10^{-3}) \sqrt{\frac{2\pi \cdot 0,465 \cdot (1 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 0,08 \cdot 9,8}} \approx 4 \cdot 10^{-3} \sqrt{\frac{0,00292}{2,352}} \approx 4 \cdot 10^{-3} \cdot 0,0352 \approx 0,000141 \text{ м}$

Переводя в миллиметры, получаем $d \approx 0,14 \text{ мм}$. Этот результат очень близок к значению, указанному в условии. Расхождение может быть связано с использованием в задачнике slightly других значений для $\sigma$ и $g$. Принимаем ответ из условия.

В завершение проверим справедливость нашего первоначального допущения $d \ll R$. Используя $d = 0,15 \text{ мм} = 0,15 \cdot 10^{-3} \text{ м}$, найдем $R$:

$R = \sqrt{\frac{4r_0^3}{3d}} = \sqrt{\frac{4 \cdot (10^{-3})^3}{3 \cdot 0,15 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-9}}{0,45 \cdot 10^{-3}}} \approx \sqrt{8,89 \cdot 10^{-6}} \approx 2,98 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 3,0 \text{ мм}$

Так как $d = 0,15 \text{ мм}$ значительно меньше $R \approx 3,0 \text{ мм}$, предположение $d \ll R$ было верным.

Ответ: $d = 0,15 \text{ мм}$.