Номер 84, страница 144 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 19. Свойства жидкостей. Жидкости, пары и твердые тела - номер 84, страница 144.

Условие.

O-84. Докажите, что избыточное давление в жидкости под ее цилиндрической поверхностью радиусом $\text{R}$ равно $\sigma / R$, а под сферической поверхностью $2\sigma / R$.

Решение. Рассмотрим ситуацию, в которой образуется цилиндрический мениск жидкости: в жидкость на небольшом расстоянии $2R$ друг от друга опущены две параллельные вертикальные смачиваемые пластины (см. рисунок).

На столбик жидкости, поднявшейся между ними на высоту $\text{h}$, действует вверх сила поверхностного натяжения $2\sigma l$, уравновешивающая силу тяжести

$mg = \rho \cdot 2Rlh \cdot g$

Приравнивая эти силы, находим $h = \frac{\sigma}{\rho Rg}$. Следовательно, давление в жидкости под поверхностью мениска меньше атмосферного на $\Delta p = \rho gh = \sigma / R$. Полусферический же мениск возникает в круглом капилляре, опущенном в жидкость. В этом случае условие равновесия столбика жидкости имеет вид $\sigma \cdot 2\pi R = \rho \cdot \pi R^2hg$, откуда $\Delta p = \rho gh = 2\sigma / R$. В случае несмачивания давление под выпуклой поверхностью мениска увеличивается на $\Delta p$. Вообще давление всегда меньше с той стороны мениска, куда обращена выпуклость (поверхность жидкости ведет себя в этом отношении как упругая пленка). Избыточное давление под искривленной поверхностью жидкости называют лапласовским давлением.

Решение.

Дано:

Цилиндрическая поверхность жидкости радиусом $R$.
Сферическая поверхность жидкости радиусом $R$.
Коэффициент поверхностного натяжения жидкости: $\sigma$.
Плотность жидкости: $\rho$.
Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Доказать, что избыточное (лапласовское) давление $\Delta p$ под цилиндрической поверхностью равно $\sigma/R$, а под сферической — $2\sigma/R$.

Решение:

Доказательство для цилиндрической поверхности

Рассмотрим ситуацию, в которой цилиндрический мениск образуется между двумя близко расположенными параллельными смачиваемыми пластинами, опущенными в жидкость. Пусть расстояние между пластинами равно $2R$. Жидкость поднимется между пластинами на высоту $h$ благодаря силам поверхностного натяжения.

На поднявшийся столбик жидкости действуют две силы: сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$, направленная вертикально вверх, и сила тяжести $F_{g}$, направленная вертикально вниз. В состоянии равновесия эти силы уравновешивают друг друга.

Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ действует вдоль линий соприкосновения жидкости с пластинами. Если длина пластин, погруженных в жидкость, равна $l$, то общая длина линий соприкосновения составляет $2l$. При условии полного смачивания (краевой угол равен нулю) сила направлена вертикально вверх и вычисляется по формуле:
$F_{\sigma} = 2 \sigma l$

Сила тяжести $F_{g}$, действующая на столбик поднявшейся жидкости, определяется его массой $m$ и ускорением свободного падения $g$. Объем столбика жидкости $V$ можно найти как произведение площади его основания ($2R \cdot l$) на высоту $h$:
$V = 2Rlh$
Масса столбика жидкости: $m = \rho V = 2\rho Rlh$.
Следовательно, сила тяжести равна:
$F_{g} = mg = 2\rho Rlhg$

Из условия равновесия $F_{\sigma} = F_{g}$ имеем:
$2 \sigma l = 2\rho Rlhg$

Сокращая в уравнении общие множители ($2l$), находим высоту поднятия жидкости $h$:
$\sigma = \rho Rhg \Rightarrow h = \frac{\sigma}{\rho Rg}$

Избыточное давление под искривленной поверхностью (также известное как давление Лапласа) $\Delta p$ уравновешивает гидростатическое давление столба жидкости высотой $h$. Это давление представляет собой разность между атмосферным давлением над мениском и давлением в жидкости непосредственно под ним.
$\Delta p = \rho g h$

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для высоты $h$:
$\Delta p = \rho g \left( \frac{\sigma}{\rho Rg} \right) = \frac{\sigma}{R}$

Таким образом, доказано, что избыточное давление под цилиндрической поверхностью радиусом $R$ равно $\sigma/R$.
Ответ: Для цилиндрической поверхности избыточное давление составляет $\Delta p = \frac{\sigma}{R}$.

Доказательство для сферической поверхности

Теперь рассмотрим случай, когда сферический мениск (в приближении полусферы) образуется в узком круглом капилляре радиусом $R$, опущенном в жидкость. Жидкость в капилляре поднимется на высоту $h$.

Аналогично первому случаю, равновесие столбика жидкости в капилляре определяется балансом силы поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ и силы тяжести $F_{g}$.

Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ действует вдоль окружности соприкосновения жидкости со стенками капилляра. Длина этой окружности равна $2\pi R$. При полном смачивании сила будет направлена вертикально вверх и равна:
$F_{\sigma} = \sigma \cdot 2\pi R$

Сила тяжести $F_{g}$, действующая на столбик жидкости, определяется его весом. Объем столбика (пренебрегая малым объемом самого мениска) можно считать равным объему цилиндра радиусом $R$ и высотой $h$:
$V = \pi R^2 h$
Масса столбика: $m = \rho V = \rho \pi R^2 h$.
Сила тяжести:
$F_{g} = mg = \rho \pi R^2 hg$

Приравняем силы из условия равновесия $F_{\sigma} = F_{g}$:
$\sigma \cdot 2\pi R = \rho \pi R^2 hg$

Сокращая общие множители ($\pi R$), получим выражение для высоты поднятия жидкости $h$:
$2\sigma = \rho Rhg \Rightarrow h = \frac{2\sigma}{\rho Rg}$

Избыточное давление под сферическим мениском равно гидростатическому давлению, создаваемому столбом жидкости высотой $h$:
$\Delta p = \rho g h$

Подставим найденное выражение для $h$:
$\Delta p = \rho g \left( \frac{2\sigma}{\rho Rg} \right) = \frac{2\sigma}{R}$

Таким образом, доказано, что избыточное давление под сферической поверхностью радиусом $R$ равно $2\sigma/R$.
Ответ: Для сферической поверхности избыточное давление составляет $\Delta p = \frac{2\sigma}{R}$.