Номер 82, страница 143 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 19. Свойства жидкостей. Олимпиадные задачи - номер 82, страница 143.

Условие.

O-82. Найдите давление воздуха $\text{p}$ внутри мыльного пузыря радиусом $\text{R}$. Давление воздуха вне пузыря $p_0$, поверхностное натяжение мыльной пленки $\sigma$.

☑ $p = p_0 + 4\sigma / R$.

Решение. Давление внутри мыльной пленки (см. рисунок, на котором толщина пленки намеренно преувеличена) $p_1 = p_0 + 2\sigma / R$; давление же внутри пузыря $p = p_1 + 2\sigma / (R - h)$.

Толщина $\text{h}$ стенки мыльного пузыря ничтожно мала, поэтому $p = p_0 + 4\sigma / R$. Избыточное давление в мыльном пузыре вдвое больше, чем внутри воздушного пузырька того же радиуса в мыльной воде, потому что в мыльном пузыре избыточное давление создается двумя поверхностями: внешней и внутренней.

Решение.

Дано:

Радиус мыльного пузыря: $R$

Давление воздуха вне пузыря: $p_0$

Поверхностное натяжение мыльной пленки: $σ$

Найти:

Давление воздуха внутри пузыря: $p$

Решение:

Мыльный пузырь представляет собой тонкую пленку жидкости, имеющую две поверхности: внешнюю и внутреннюю. Каждая из этих поверхностей создает дополнительное (избыточное) давление, направленное внутрь пузыря, из-за сил поверхностного натяжения. Это давление известно как давление Лапласа.

Для одной сферической поверхности избыточное давление определяется по формуле Лапласа:

$Δp = \frac{2σ}{r}$

где $σ$ – коэффициент поверхностного натяжения, а $r$ – радиус кривизны поверхности.

Рассмотрим давление на каждой границе мыльного пузыря. Пусть $R$ — внешний радиус пузыря, а $h$ — толщина его стенки. Тогда внутренний радиус будет $R_{вн} = R - h$.

1. На внешней поверхности (с радиусом $R$) давление внутри пленки $p_1$ больше внешнего давления $p_0$ на величину лапласовского давления:

$p_1 - p_0 = \frac{2σ}{R}$

2. На внутренней поверхности (с радиусом $R_{вн} = R - h$) давление воздуха внутри пузыря $p$ больше давления внутри пленки $p_1$ также на величину лапласовского давления:

$p - p_1 = \frac{2σ}{R-h}$

Суммарное избыточное давление внутри пузыря по отношению к внешнему давлению равно $p - p_0$. Сложим два этих уравнения:

$(p - p_1) + (p_1 - p_0) = \frac{2σ}{R-h} + \frac{2σ}{R}$

$p - p_0 = 2σ(\frac{1}{R-h} + \frac{1}{R})$

Толщина стенки мыльного пузыря $h$ очень мала по сравнению с его радиусом $R$ ($h \ll R$). Поэтому можно пренебречь толщиной пленки и считать, что радиусы обеих поверхностей примерно равны: $R-h \approx R$.

Тогда формула для избыточного давления упрощается:

$p - p_0 \approx 2σ(\frac{1}{R} + \frac{1}{R}) = 2σ(\frac{2}{R}) = \frac{4σ}{R}$

Таким образом, избыточное давление в мыльном пузыре вдвое больше, чем в капле жидкости или в воздушном пузырьке внутри жидкости, так как оно создается двумя поверхностями.

Отсюда находим давление $p$ внутри пузыря:

$p = p_0 + \frac{4σ}{R}$

Ответ: $p = p_0 + 4σ/R$.