Номер 19.3, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 19. Свойства жидкостей. Упражнения - номер 19.3, страница 140.

Условие.

19.3. Смачиваемый водой кубик массой $m = 4 \text{ г}$ плавает на поверхности воды. Длина ребра кубика $a = 3 \text{ см}$. На какой глубине $\text{h}$ находится нижняя грань кубика?

☑ 5,4 мм.

Решение. Свободная поверхность жидкости граничит со стенками кубика по периметру квадрата со стороной $\text{a}$.

a. Кубик тянет вниз сила поверхностного натяжения $F_{\text{пн}} = 4\sigma a$ (см. рисунок).

Условие равновесия: $F_A = mg + F_{\text{пн}}$. Учитывая, что $F_A = \rho_B gV_B = \rho_B ga^2h$, где $\rho_B$ — плотность воды, а $V_B$ — объем погруженной части кубика (т. е. объем вытесненной воды), получаем:

$h = \frac{mg + 4\sigma a}{\rho_B ga^2} = 0,0054 \text{ (м)}$

Итак, нижняя часть кубика погружена на 5,4 мм. В «отсутствие» поверхностного натяжения (при $\sigma = 0$) эта глубина была бы на 1 мм меньше.

Решение.

Дано:

$m = 4 \text{ г} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$a = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$\sigma = 0,073 \text{ Н/м}$ (коэффициент поверхностного натяжения воды)
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$h$ - ?

Решение:

Кубик находится в равновесии на поверхности воды, значит, сумма всех действующих на него сил равна нулю. На кубик действуют три силы в вертикальном направлении:

1. Сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз.
2. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх.
3. Сила поверхностного натяжения $F_{пн}$, которая для смачиваемой поверхности направлена вниз.

Условие равновесия кубика в проекции на вертикальную ось:$F_A = F_т + F_{пн}$

Распишем каждую из сил:

Сила тяжести: $F_т = mg$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Объем погруженной части кубика $V_{погр}$ равен произведению площади его основания $S = a^2$ на глубину погружения $h$: $V_{погр} = a^2h$.$F_A = \rho_в g V_{погр} = \rho_в g a^2 h$

Сила поверхностного натяжения действует вдоль линии соприкосновения поверхности жидкости с телом. Длина этой линии (периметр) равна $L = 4a$.$F_{пн} = \sigma L = 4 \sigma a$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:$\rho_в g a^2 h = mg + 4 \sigma a$

Выразим искомую глубину погружения $h$:$h = \frac{mg + 4 \sigma a}{\rho_в g a^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:$h = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 + 4 \cdot 0,073 \text{ Н/м} \cdot 0,03 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,03 \text{ м})^2} = \frac{0,0392 \text{ Н} + 0,00876 \text{ Н}}{9800 \text{ м/с}^2 \cdot \text{кг/м}^3 \cdot 0,0009 \text{ м}^2}$

$h = \frac{0,04796 \text{ Н}}{8,82 \text{ Н/м}} \approx 0,00544 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:$h = 0,00544 \text{ м} = 5,44 \text{ мм}$

Округляя до десятых, получаем 5,4 мм.

Ответ: $h \approx 5,4$ мм.