Номер 77, страница 135 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 18. Тепловые двигатели. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 77, страница 135.

Условие.

O-77. Может ли КПД тепловой машины, использующей цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор, быть равен КПД идеальной тепловой машины Карно, работающей с теми же нагревателем и холодильником?

☑ Нет, КПД идеальной тепловой машины Карно больше.

Решение. Пусть цикл состоит из двух изотерм и двух изохор (см. рисунок).

Обозначим температуру холодильника $T_1$, а нагревателя $T_2$. На участке 1-2 к газу подводится некоторое количество теплоты $Q_1$. На участке 2-3 все подводимое количество теплоты $Q_2$ идет на совершение работы: $Q_2 = A_2$. На участке 3-4 от газа отбирается количество теплоты $Q_1$. На участке 4 совершаемая газом работа отрицательна и, следовательно, от него отбирается теплота. Полное количество теплоты, подведенное за один цикл к газу, составляет $Q_1 + A_2$. Работа газа за цикл, как видно из рисунка, складывается из положительной работы $A_2$ на участке 2-3 и отрицательной $A_4$ на участке 4. Из закона Шарля следует, что площадь под кривой 2-3 больше, чем площадь под кривой 4, в $T_1/T_2$ раз. Следовательно, $A_4 = -(T_1/T_2) \cdot A_2$.

Полная работа за цикл $A = A_2 + A_4 = \left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) \cdot A_2,$ а КПД $\eta = \frac{A}{Q_1 + A_2} = \frac{1 - \frac{T_1}{T_2}}{1 + \frac{Q_1}{A_2}} < 1 - \frac{T_1}{T_2},$ т. е. КПД тепловой машины, использующей цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор, меньше КПД идеальной тепловой машины Карно, который равен $1 - T_1/T_2$.

Решение.

Нет, КПД идеальной тепловой машины Карно больше.

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из двух изотерм и двух изохор, с КПД идеальной тепловой машины Карно, которая работает в том же интервале температур. Согласно второй теореме Карно, КПД любой тепловой машины, работающей с нагревателем температуры $T_2$ и холодильником температуры $T_1$, не может превышать КПД идеальной машины Карно, работающей с теми же нагревателем и холодильником. Равенство достигается только для обратимых циклов, каким является цикл Карно (две изотермы и две адиабаты). Цикл из двух изотерм и двух изохор не является циклом Карно, и теплообмен в изохорных процессах происходит не при постоянной температуре, а в интервале от $T_1$ до $T_2$, что делает его менее эффективным. Проведем математическое доказательство.

Пусть $T_1$ — температура холодильника, а $T_2$ — температура нагревателя ($T_2 > T_1$).

Цикл состоит из четырех последовательных процессов, где рабочим телом является идеальный газ:

1. Изохорное нагревание. При постоянном объеме газ нагревается от температуры $T_1$ до $T_2$. Ему сообщается количество теплоты $Q_1$. Так как объем постоянен, работа газа на этом участке равна нулю. Теплота, полученная газом, равна изменению его внутренней энергии: $Q_1 = C_V(T_2 - T_1)$, где $C_V$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме.

2. Изотермическое расширение. При постоянной температуре $T_2$ газ расширяется, совершая работу $A_2$. При этом он получает от нагревателя количество теплоты $Q_2$. Для идеального газа при изотермическом процессе внутренняя энергия не меняется, поэтому вся полученная теплота идет на совершение работы: $Q_2 = A_2$.

3. Изохорное охлаждение. При постоянном объеме газ охлаждается от $T_2$ до $T_1$, отдавая холодильнику количество теплоты. Величина этой теплоты по модулю равна $Q_1$.

4. Изотермическое сжатие. При постоянной температуре $T_1$ газ сжимают, совершая над ним работу. Работа, совершаемая газом на этом участке, $A_4$, является отрицательной.

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя за один цикл ($Q_{нагр}$), складывается из теплоты на участках изохорного нагревания и изотермического расширения:

$Q_{нагр} = Q_1 + Q_2 = Q_1 + A_2$

Полезная работа за цикл ($A$) равна сумме работ на всех участках. На изохорных участках работа равна нулю, поэтому полная работа равна сумме работ на изотермических участках:

$A = A_2 + A_4$

Работа при изотермическом процессе для $\nu$ молей идеального газа вычисляется как $A = \nu R T \ln(V_{конечный}/V_{начальный})$. Пусть объемы в состояниях 1, 2, 3, 4 равны $V_a$ и $V_b$. Из-за изохорных процессов $V_1=V_2=V_a$ и $V_3=V_4=V_b$. Тогда:

$A_2 = \nu R T_2 \ln(V_b/V_a)$

$A_4 = \nu R T_1 \ln(V_a/V_b) = - \nu R T_1 \ln(V_b/V_a)$

Из этих выражений видно, что $A_4 = -A_2 \frac{T_1}{T_2}$.

Подставим это в формулу для полной работы:

$A = A_2 + A_4 = A_2 - A_2 \frac{T_1}{T_2} = A_2 \left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right)$

Теперь найдем КПД ($\eta$) этого цикла:

$\eta = \frac{A}{Q_{нагр}} = \frac{A_2 \left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right)}{Q_1 + A_2}$

КПД идеальной тепловой машины Карно, работающей между теми же температурами, равен $\eta_C = 1 - \frac{T_1}{T_2}$.

Сравним КПД нашего цикла с КПД цикла Карно. Выражение для $\eta$ можно переписать так, разделив числитель и знаменатель на $A_2$:

$\eta = \frac{1 - \frac{T_1}{T_2}}{1 + \frac{Q_1}{A_2}}$

Поскольку $Q_1 = C_V(T_2 - T_1) > 0$ (так как $T_2 > T_1$) и $A_2 > 0$ (так как происходит расширение, $V_b > V_a$), то их отношение $Q_1/A_2 > 0$. Следовательно, знаменатель $1 + Q_1/A_2 > 1$.

Из этого следует, что:

$\eta = \frac{\eta_C}{1 + \frac{Q_1}{A_2}} < \eta_C$

Таким образом, КПД тепловой машины, использующей цикл из двух изотерм и двух изохор, всегда строго меньше КПД идеальной тепловой машины Карно.

Ответ: Нет, КПД тепловой машины, использующей цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор, не может быть равен КПД идеальной тепловой машины Карно, работающей с теми же нагревателем и холодильником. Он всегда будет меньше.