Номер 80, страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 18. Тепловые двигатели. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 80, страница 138.

Условие.

O-80. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из четырех последовательно происходящих процессов: адиабатного сжатия из состояния $\text{A}$ в состояние $\text{B}$, изохорного перехода из состояния $\text{B}$ в состояние $\text{C}$ в результате нагревания воздуха при сжигании горючей смеси, адиабатного расширения из состояния $\text{C}$ в состояние $\text{D}$ и изохорного перехода из состояния $\text{D}$ в исходное состояние $\text{A}$ (см. рисунок). Вычислите КПД двигателя для случая, если бы воздух был идеальным одноатомным газом при значениях температуры в состояниях $A, B, C$ и $\text{D}$ соответственно:

$T_A = 300\ K, T_B = 524\ K, T_C = 786\ K$ и $T_D = 450\ K.$

☑ 43 %.

Решение. КПД теплового двигателя определяется соотношением $\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$, где $Q_1$ — количество теплоты, переданное за цикл рабочему телу от нагревателя, $Q_2$ — количество теплоты, полученное за цикл холодильником от рабочего тела. Во время осуществления адиабатных процессов расширения и сжатия нет теплообмена рабочего тела ни с холодильником, ни с нагревателем. Следовательно, весь процесс теплопередачи количества теплоты $Q_1$ от нагревателя осуществляется при переходе газа из состояния $\text{B}$ в состояние $\text{C}$, а процесс передачи количества теплоты $Q_2$ холодильнику — при переходе газа из состояния $\text{D}$ в состояние $\text{A}$. При изохорном переходе газа из состояния $\text{B}$ в состояние $\text{C}$ работа внешних сил равна нулю: $A = 0$, так как поршень неподвижен. Из первого закона термодинамики для этого процесса следует: $\Delta U_{BC} = Q_1 + A, A = 0, \Delta U_{BC} = Q_1$.

Таким образом, количество теплоты, полученное газом от нагревателя за весь цикл, равно изменению внутренней энергии газа при переходе из состояния $\text{B}$ в состояние $\text{C}$:

$Q_1 = \Delta U_{BC} = U_C - U_B = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R T_C - \frac{3}{2} \frac{m}{M} R T_B = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_C - T_B)$.

Аналогично количество теплоты $Q_2$, переданное холодильнику при изохорном переходе газа из состояния $\text{D}$ в состояние $\text{A}$, равно:

$Q_2 = \Delta U_{DA} = U_D - U_A = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_D - T_A)$.

Подставляя полученные выражения для $Q_1$ и $Q_2$ в уравнение для определения КПД, получаем:

$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = \frac{\frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_C - T_B) - \frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_D - T_A)}{\frac{3}{2} \frac{m}{M} R(T_C - T_B)} = \frac{T_C - T_B - T_D + T_A}{T_C - T_B}$.

Находим числовое значение КПД:

$\eta = \frac{786 - 524 - 450 + 300}{786 - 524} \approx 0,43$.

Таким образом, $\eta = 43 \%$.

Решение.

Дано:

Цикл двигателя внутреннего сгорания (цикл Отто):

A-B: адиабатное сжатие

B-C: изохорный нагрев

C-D: адиабатное расширение

D-A: изохорное охлаждение

Рабочее тело - идеальный одноатомный газ.

Температура в состоянии A, $T_A = 300 \text{ К}$

Температура в состоянии B, $T_B = 524 \text{ К}$

Температура в состоянии C, $T_C = 786 \text{ К}$

Температура в состоянии D, $T_D = 450 \text{ К}$

Найти:

КПД двигателя, $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется формулой:

$\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$

где $Q_1$ — количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя за цикл, а $Q_2$ — количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику за цикл.

В данном цикле теплообмен с окружающей средой происходит только на участках изохорных процессов. Процессы адиабатного сжатия (A-B) и расширения (C-D) происходят без теплообмена ($Q_{AB} = 0$, $Q_{CD} = 0$).

1. Изохорный нагрев (B-C). Газ получает количество теплоты $Q_1$. Так как процесс изохорный ($V = const$), работа газа равна нулю ($A=0$). По первому закону термодинамики, вся подводимая теплота идет на увеличение внутренней энергии:

$Q_1 = \Delta U_{BC} = U_C - U_B$

Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия равна $U = \frac{3}{2}\nu RT$, где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная.

$Q_1 = \frac{3}{2}\nu R(T_C - T_B)$

2. Изохорное охлаждение (D-A). Газ отдает холодильнику количество теплоты $Q_2$. Аналогично, работа газа равна нулю, и отданная теплота равна убыли внутренней энергии:

$Q_2 = |\Delta U_{DA}| = |U_A - U_D| = U_D - U_A$ (поскольку $T_D > T_A$, изменение энергии отрицательно, а $Q_2$ - это отданное, положительное количество теплоты).

$Q_2 = \frac{3}{2}\nu R(T_D - T_A)$

Теперь подставим выражения для $Q_1$ и $Q_2$ в формулу для КПД:

$\eta = \frac{\frac{3}{2}\nu R(T_C - T_B) - \frac{3}{2}\nu R(T_D - T_A)}{\frac{3}{2}\nu R(T_C - T_B)}$

Сократив общий множитель $\frac{3}{2}\nu R$, получим:

$\eta = \frac{(T_C - T_B) - (T_D - T_A)}{T_C - T_B} = 1 - \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B}$

Подставим числовые значения температур:

$\eta = 1 - \frac{450 \text{ К} - 300 \text{ К}}{786 \text{ К} - 524 \text{ К}} = 1 - \frac{150}{262}$

$\eta = \frac{262 - 150}{262} = \frac{112}{262} \approx 0.42748$

Выразим КПД в процентах, округлив до целых:

$\eta \approx 0.43 = 43\%$

Ответ: КПД двигателя составляет примерно $43\%$.