Номер 79, страница 137 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 18. Тепловые двигатели. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 79, страница 137.

Условие.

O-79. Определите отношение $\frac{\eta_1}{\eta_2}$ коэффициентов полезного действия двух циклических процессов, проведенных с идеальным газом (см. рисунок): первый процесс 1-2-3-4, второй процесс 5-6-7-4-5.

☑ 27/23.

Решение. КПД цикла $\eta = \frac{A'}{Q_{\text{н}}}$, где $A'$ — работа газа за цикл; $Q_{\text{н}}$ — количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл. Работе газа за цикл на $pV$-диаграмме соответствует площадь, заключенная «внутри» цикла. Из условия задачи следует, что работа газа в первом и во втором процессах одна и та же. Следовательно, $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{Q_{\text{н}2}}{Q_{\text{н}1}}$, где $Q_{\text{н}1}$ и $Q_{\text{н}2}$ — количества теплоты, полученные системой соответственно в первом и во втором циклах. Найдем $Q_{\text{н}1}$ и $Q_{\text{н}2}$. Пусть температура газа в точке 1 (см. рисунок) была $T_1$. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, нетрудно показать, что $T_2 = T_5 = 2T_1$, $T_3 = T_6 = 6T_1$, $T_4 = 3T_1$, $T_7 = 9T_1$. Очевидно, что в процессе 1-2-3-4 газ получил тепло $Q_{\text{н}1}$ на участках 1-2 и 2-3, причем $Q_{\text{н}1} = A_1 + \Delta U_1$, где $A_1 = 4p_0V_0 = 4\nu RT_1$ — работа, совершенная на этих участках газом, $\Delta U_1 = \frac{3}{2}\nu R(T_3 - T_1) = \frac{15}{2}\nu RT_1$ — изменение его внутренней энергии, так что $Q_{\text{н}1} = 4\nu RT_1 + \frac{15}{2}\nu RT_1 = \frac{23}{2}\nu RT_1$.

В процессе 5-6-7-4-5 газ получил тепло $Q_{\text{н}2}$ на участках 5-6 и 6-7, причем

$Q_{\text{н}2} = A_2 + \Delta U_2 = 3p_0V_0 + \frac{3}{2}\nu R(T_7 - T_5) = \frac{27}{2}\nu RT_1$.

Таким образом, $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{Q_{\text{н}2}}{Q_{\text{н}1}} = \frac{27}{23}$.

Решение.

Дано:

Идеальный газ (будем считать одноатомным)

Цикл 1: 1-2-3-4-1

Цикл 2: 5-6-7-4-5

Параметры состояний газа в характерных точках циклов (из pV-диаграммы):

Точка 1: $p_1 = p_0, V_1 = V_0$

Точка 2: $p_2 = 2p_0, V_2 = 2V_0$

Точка 3: $p_3 = 2p_0, V_3 = 3V_0$

Точка 4: $p_4 = p_0, V_4 = 3V_0$

Точка 5: $p_5 = p_0, V_5 = 2V_0$

Точка 6: $p_6 = 3p_0, V_6 = 2V_0$

Точка 7: $p_7 = 3p_0, V_7 = 3V_0$

Найти:

$\frac{\eta_1}{\eta_2}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$\eta = \frac{A'}{Q_H}$,

где $A'$ – работа, совершаемая газом за цикл, а $Q_H$ – количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Рассмотрим оба цикла по отдельности.

Цикл 1 (1-2-3-4-1)

1. Работа газа за цикл $A'_1$. Работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на pV-диаграмме. Разобьем работу на участки:

$A'_{1} = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$

Работа на участке 1-2 (линейное изменение давления с объемом) равна площади трапеции под графиком:

$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \frac{p_0 + 2p_0}{2}(2V_0 - V_0) = \frac{3p_0}{2}V_0 = 1.5p_0V_0$

Работа на участке 2-3 (изобарное расширение):

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 2p_0(3V_0 - 2V_0) = 2p_0V_0$

Работа на участке 3-4 (изохорное охлаждение) равна нулю: $A_{34} = 0$.

Работа на участке 4-1 (изобарное сжатие):

$A_{41} = p_4(V_1 - V_4) = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0$

Суммарная работа за цикл 1:

$A'_1 = 1.5p_0V_0 + 2p_0V_0 + 0 - 2p_0V_0 = 1.5p_0V_0$

2. Количество теплоты $Q_{H1}$. Газ получает теплоту на тех участках, где его температура растет. Это участки 1-2 и 2-3. Найдем количество теплоты, используя первый закон термодинамики $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

На участке 1-2:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) + A_{12} = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 2V_0 - p_0V_0) + 1.5p_0V_0 = \frac{3}{2}(3p_0V_0) + 1.5p_0V_0 = 4.5p_0V_0 + 1.5p_0V_0 = 6p_0V_0$

На участке 2-3:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) + A_{23} = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0 \cdot 2V_0) + 2p_0V_0 = \frac{3}{2}(2p_0V_0) + 2p_0V_0 = 3p_0V_0 + 2p_0V_0 = 5p_0V_0$

Суммарное количество полученной теплоты:

$Q_{H1} = Q_{12} + Q_{23} = 6p_0V_0 + 5p_0V_0 = 11p_0V_0$

3. КПД цикла 1:

$\eta_1 = \frac{A'_1}{Q_{H1}} = \frac{1.5p_0V_0}{11p_0V_0} = \frac{3}{22}$

Цикл 2 (5-6-7-4-5)

1. Работа газа за цикл $A'_2$. Цикл представляет собой прямоугольник на pV-диаграмме, его площадь:

$A'_2 = (p_6 - p_5)(V_7 - V_6) = (3p_0 - p_0)(3V_0 - 2V_0) = (2p_0)(V_0) = 2p_0V_0$

2. Количество теплоты $Q_{H2}$. Газ получает теплоту на участках 5-6 (изохорное нагревание) и 6-7 (изобарное расширение).

На участке 5-6 ($A_{56} = 0$):

$Q_{56} = \Delta U_{56} = \frac{3}{2}(p_6V_6 - p_5V_5) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 2V_0 - p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0) = 6p_0V_0$

На участке 6-7:

$Q_{67} = \Delta U_{67} + A_{67} = \frac{3}{2}(p_7V_7 - p_6V_6) + p_6(V_7-V_6) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 3V_0 - 3p_0 \cdot 2V_0) + 3p_0(3V_0 - 2V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0) + 3p_0V_0 = 4.5p_0V_0 + 3p_0V_0 = 7.5p_0V_0$

Суммарное количество полученной теплоты:

$Q_{H2} = Q_{56} + Q_{67} = 6p_0V_0 + 7.5p_0V_0 = 13.5p_0V_0$

3. КПД цикла 2:

$\eta_2 = \frac{A'_2}{Q_{H2}} = \frac{2p_0V_0}{13.5p_0V_0} = \frac{2}{13.5} = \frac{4}{27}$

Отношение КПД

Теперь найдем искомое отношение коэффициентов полезного действия:

$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{3/22}{4/27} = \frac{3}{22} \cdot \frac{27}{4} = \frac{81}{88}$

Ответ: $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{81}{88}$.