Номер 19.2, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 19. Свойства жидкостей. Упражнения - номер 19.2, страница 140.

Условие.

19.2. Стеклянная капиллярная трубка с очень тонкими стенками подвешена вертикально к чашке рычажных весов. Весы уравновешены. К трубке подносят снизу сосуд с водой так, что поверхность воды касается капилляра. Чтобы восстановить равновесие, пришлось увеличить груз на другой чашке весов на $m = 0,14$ г. Найдите радиус $\text{r}$ капилляра.

☑ 1,5 мм.

Решение. Силы поверхностного натяжения тянут капиллярную трубку вниз. Они приложены к внутренней и внешней поверхностям по окружностям радиуса $\text{r}$, поэтому полная длина линии, вдоль которой действует сила поверхностного натяжения $\text{F}$, равна $4\pi r$. Следовательно, $F = 4\pi r\sigma$. С другой стороны, согласно условию $F = mg$, отсюда $r = \frac{mg}{4\pi\sigma} = 1,5$ (мм).

Решение.

Дано:

$m = 0,14 \text{ г} = 0,14 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$\sigma \approx 0,073 \text{ Н/м}$ (коэффициент поверхностного натяжения воды при 20°C)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Когда нижний конец капиллярной трубки касается поверхности воды, на трубку начинает действовать сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$. Поскольку вода смачивает стекло, эта сила направлена вертикально вниз и стремится втянуть трубку в воду. Для восстановления равновесия весов необходимо приложить силу, равную по модулю и противоположную по направлению силе $F_{\sigma}$. Эту силу создает дополнительный груз массой $m$, его вес равен $P = mg$.

Таким образом, сила поверхностного натяжения уравновешивается весом дополнительного груза:

$F_{\sigma} = P = mg$

Сила поверхностного натяжения определяется формулой $F_{\sigma} = \sigma L$, где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $L$ — длина линии контакта жидкости с поверхностью тела.

В данном случае вода контактирует с трубкой по двум окружностям: внутренней и внешней. Так как трубка имеет очень тонкие стенки, можно считать, что ее внутренний и внешний радиусы примерно одинаковы и равны $r$.

Длина внутренней линии контакта: $L_{вн} = 2\pi r$.

Длина внешней линии контакта: $L_{внеш} = 2\pi r$.

Полная длина линии контакта равна сумме длин этих двух окружностей:

$L = L_{вн} + L_{внеш} = 2\pi r + 2\pi r = 4\pi r$.

Следовательно, сила поверхностного натяжения равна:

$F_{\sigma} = \sigma \cdot 4\pi r$.

Приравнивая выражения для силы, получаем:

$mg = 4\pi\sigma r$.

Из этого уравнения выразим искомый радиус капилляра $r$:

$r = \frac{mg}{4\pi\sigma}$.

Подставим числовые значения в СИ:

$r = \frac{0,14 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot 3,14 \cdot 0,073 \text{ Н/м}} \approx \frac{1,372 \cdot 10^{-3}}{0,91688} \text{ м} \approx 1,496 \cdot 10^{-3} \text{ м}$.

Переведем результат в миллиметры, умножив на 1000:

$r \approx 1,496 \text{ мм} \approx 1,5 \text{ мм}$.

Ответ: радиус капилляра $r$ равен приблизительно $1,5$ мм.