Номер 19.4, страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 19. Свойства жидкостей. Упражнения - номер 19.4, страница 141.

Условие.

19.4. Оцените максимальный размер капель воды, которые могут висеть на потолке.

☑ $r \approx 5$ мм.

Решение. Для грубой оценки можно принять, что висящая на потолке капля имеет форму полушара радиусом $\text{r}$. Тогда удерживающая каплю сила поверхностного натяжения равна $\sigma \cdot 2\pi r$, а сила тяжести капли $mg = \rho(2\pi/3)r^3g$, откуда $r = \sqrt{3\sigma/(\rho g)} = 4,7$ (мм).

Решение.

Дано:

Коэффициент поверхностного натяжения воды: $\sigma \approx 73 \cdot 10^{-3}$ Н/м
Плотность воды: $\rho \approx 1000$ кг/м³
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Максимальный радиус капли $r_{max}$.

Решение:

Для оценки максимального размера капли, которая может висеть на потолке, сделаем допущение, что капля имеет форму полушара радиусом $r$. Капля будет удерживаться на потолке до тех пор, пока сила поверхностного натяжения, действующая вверх по периметру её основания, не станет меньше силы тяжести, действующей вниз. В предельном случае, когда капля готова оторваться, эти две силы равны.

Сила тяжести $F_g$, действующая на каплю, определяется её массой $m$ и ускорением свободного падения $g$. Массу капли можно выразить через её объём $V$ и плотность воды $\rho$. Для полушара объём вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3}\pi r^3$.

Таким образом, сила тяжести равна: $F_g = m g = \rho V g = \rho \frac{2}{3}\pi r^3 g$

Удерживающая каплю сила поверхностного натяжения $F_\sigma$ направлена вертикально вверх и действует вдоль линии соприкосновения капли с потолком. Эта линия представляет собой окружность радиусом $r$. Длина этой окружности (периметр основания) $L = 2\pi r$. Сила поверхностного натяжения равна произведению коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ на длину этого контура $L$:

$F_\sigma = \sigma L = \sigma \cdot 2\pi r$

Максимальный размер капли достигается в момент, когда сила тяжести уравновешивается силой поверхностного натяжения. При дальнейшем увеличении размера (массы) сила тяжести превысит силу поверхностного натяжения, и капля оторвётся. Запишем условие равновесия:

$F_g = F_\sigma$

Подставим выражения для сил в это равенство: $\rho \frac{2}{3}\pi r^3 g = \sigma \cdot 2\pi r$

Сократим обе части уравнения на $2\pi r$ (поскольку радиус $r$ не равен нулю): $\frac{1}{3} \rho r^2 g = \sigma$

Теперь выразим из этого уравнения радиус $r$: $r^2 = \frac{3\sigma}{\rho g}$ $r = \sqrt{\frac{3\sigma}{\rho g}}$

Подставим числовые значения констант в систему СИ для проведения вычислений: $r = \sqrt{\frac{3 \cdot 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м³} \cdot 9.8 \text{ м/с²}}} = \sqrt{\frac{0.219}{9800}} \approx \sqrt{2.234 \cdot 10^{-5}} \approx 0.00472$ м

Переведём полученный результат в миллиметры, умножив на 1000: $r \approx 0.00472 \text{ м} = 4.72 \text{ мм}$

Таким образом, максимальный радиус капли, которая может висеть на потолке, составляет около 4,7 мм. Для грубой оценки это значение можно округлить до 5 мм.

Ответ: $r = \sqrt{\frac{3\sigma}{\rho g}} \approx 4.7$ мм.