Номер 19.1, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 19. Свойства жидкостей. Жидкости, пары и твердые тела - номер 19.1, страница 140.

Условие.

19.1. Действительно ли нельзя носить воду в решете? Пусть тонкие нити решета протянуты на расстоянии $d = 1,0$ мм друг от друга. Сколько воды можно унести в таком круглом решете радиусом $r = 10$ см? Считайте, что нити водой не смачиваются.

☑ Около 1 л.

Решение. Вода не будет выливаться из решета, если равнодействующая сил поверхностного натяжения компенсирует силу тяжести. Рассмотрим столб воды, в основании которого — квадратик, образованный нитями решета. При максимально возможной высоте $\text{h}$ слоя воды силы поверхностного натяжения направлены вверх, и их равнодействующая равна $4\sigma d$. Она уравновешивает силу тяжести столба воды $\rho d^2 g h$. Отсюда $h = \frac{4\sigma}{\rho g d} = 3$ см, тогда масса воды $m = \pi r^2 h \rho \approx 1$ (кг).

Решение.

19.1. Вопреки известной поговорке, воду в решете носить можно, но при определенных условиях. Это возможно благодаря явлению поверхностного натяжения. Вода не будет выливаться из ячеек решета, если сила поверхностного натяжения, действующая по периметру каждой ячейки, будет уравновешивать вес столбика воды в этой ячейке.

Дано

Расстояние между нитями (сторона ячейки), $d = 1.0 \text{ мм} = 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Радиус решета, $r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Плотность воды, $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Коэффициент поверхностного натяжения воды (при 20°C), $\sigma \approx 7.3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Массу воды $m$, которую можно унести в решете.

Решение

Рассмотрим одну квадратную ячейку решета со стороной $d$. Вода не выливается, так как на границе воды с нитями возникает сила поверхностного натяжения. Поскольку нити не смачиваются водой, эта сила направлена вертикально вверх и препятствует вытеканию. Величина этой силы для одной ячейки равна произведению коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ на длину периметра ячейки $L = 4d$.

$F_{\sigma} = \sigma L = 4\sigma d$

Эта сила должна уравновесить вес столбика воды высотой $h$ над этой ячейкой. Вес столбика воды (сила тяжести) равен:

$F_{g} = m_{cell}g = \rho V_{cell} g = \rho (d^2 h) g$

При максимальной высоте слоя воды $h$ эти силы равны:

$F_{\sigma} = F_{g}$

$4\sigma d = \rho d^2 h g$

Отсюда можем выразить максимальную высоту столба воды, который может удержать решето:

$h = \frac{4\sigma d}{\rho d^2 g} = \frac{4\sigma}{\rho g d}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{4 \cdot 7.3 \cdot 10^{-2} \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx \frac{0.292}{9.8} \approx 0.0298 \text{ м} \approx 3.0 \text{ см}$

Теперь, зная максимальную высоту слоя воды, можем найти общий объем и массу воды, которую можно унести в круглом решете радиусом $r$. Объем воды равен произведению площади решета $S$ на высоту $h$.

$V = S \cdot h = \pi r^2 h$

$V = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 \cdot 0.0298 \text{ м} \approx 3.14 \cdot 0.01 \text{ м}^2 \cdot 0.0298 \text{ м} \approx 9.36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Масса воды находится по формуле $m = \rho V$.

$m = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 \approx 0.936 \text{ кг}$

Эта масса примерно равна 1 кг. Поскольку плотность воды равна 1000 кг/м³ (или 1 кг/л), объем такой массы воды составляет около 1 литра.

Ответ: В таком решете можно унести около 0.94 кг воды, что составляет примерно 1 литр.