Номер 18.3, страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Термодинамика. 18. Тепловые двигатели. Упражнения - номер 18.3, страница 134.

Условие.

18.3. На рисунке показан цикл из двух изохор и двух изобар. Найдите КПД цикла, если рабочее тело — одноатомный идеальный газ.

☑ 17 %.

Решение. КПД цикла $ \eta = A'/Q $. Совершенная за цикл работа $A'$ численно равна площади прямоугольника: $ A' = 2p_0V_0 $. Полученное за цикл от нагревателя количество теплоты $ Q = Q_{1-2} + Q_{2-3} $. Из уравнения Клапейрона получаем $ T_2 = 2T_1 $, $ T_3 = 6T_1 $. Используя результаты решения задачи 17.6, находим:

$ Q_{1-2} = \nu C_V(T_2 - T_1) = 3\nu RT_1/2 $, $ Q_{2-3} = \nu C_p(T_3 - T_2) = 10\nu RT_1 $.

Здесь $ \nu $ — количество вещества. Подставляя полученные значения в формулу для КПД и используя соотношение $ p_0V_0 = \nu RT_1 $, получаем $ \eta = 4/23 \approx 0,17 $.

Решение.

Дано:
Циклический процесс 1-2-3-4-1.
Рабочее тело - одноатомный идеальный газ.
Параметры состояний в узловых точках цикла (согласно графику):
Точка 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$.
Точка 2: $p_2 = 2p_0$, $V_2 = V_0$.
Точка 3: $p_3 = 2p_0$, $V_3 = 3V_0$.
Точка 4: $p_4 = p_0$, $V_4 = 3V_0$.

Найти:
КПД цикла $\eta$.

Решение:
Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение полезной работы $A'$, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученному от нагревателя:
$\eta = \frac{A'}{Q_{нагр}}$

1. Полезная работа $A'$ за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме в координатах p-V. В данном случае фигура является прямоугольником.
$A' = (p_2 - p_1) \cdot (V_3 - V_2) = (2p_0 - p_0) \cdot (3V_0 - V_0) = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$.

2. Количество теплоты $Q_{нагр}$ газ получает на тех участках цикла, где его температура увеличивается. Согласно уравнению состояния идеального газа $pV = \nu RT$, температура растет при увеличении произведения $pV$.
- Участок 1-2 (изохорное нагревание): объем постоянен ($V=V_0$), давление растет от $p_0$ до $2p_0$. Произведение $pV$ увеличивается, следовательно, газ получает теплоту $Q_{1-2}$.
- Участок 2-3 (изобарное расширение): давление постоянно ($p=2p_0$), объем растет от $V_0$ до $3V_0$. Произведение $pV$ увеличивается, следовательно, газ получает теплоту $Q_{2-3}$.
- На участках 3-4 и 4-1 произведение $pV$ уменьшается, значит, температура падает, и газ отдает теплоту холодильнику.
Таким образом, общее количество теплоты, полученное от нагревателя, равно:
$Q_{нагр} = Q_{1-2} + Q_{2-3}$.

3. Рассчитаем количество теплоты для каждого участка по первому началу термодинамики: $Q = \Delta U + A$. Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.
Для изохорного процесса 1-2 работа $A_{1-2}=0$.
$Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + A_{1-2} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) + 0 = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}p_0V_0$.

4. Для изобарного процесса 2-3 работа газа $A_{2-3} = p_2(V_3 - V_2) = 2p_0(3V_0 - V_0) = 4p_0V_0$.
Изменение внутренней энергии $\Delta U_{2-3} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(2p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(6p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(4p_0V_0) = 6p_0V_0$.
Тогда количество теплоты:
$Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3} = 6p_0V_0 + 4p_0V_0 = 10p_0V_0$.

5. Суммарное количество теплоты, полученное от нагревателя:
$Q_{нагр} = Q_{1-2} + Q_{2-3} = \frac{3}{2}p_0V_0 + 10p_0V_0 = (\frac{3}{2} + \frac{20}{2})p_0V_0 = \frac{23}{2}p_0V_0$.

6. Наконец, вычисляем КПД цикла:
$\eta = \frac{A'}{Q_{нагр}} = \frac{2p_0V_0}{\frac{23}{2}p_0V_0} = \frac{2 \cdot 2}{23} = \frac{4}{23}$.
Выразим результат в процентах:
$\eta = \frac{4}{23} \cdot 100\% \approx 17.39\% \approx 17\%$.

Ответ: $\eta = \frac{4}{23} \approx 17\%$.