Номер 74, страница 131 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 74, страница 131.

Условие.

O-74. В длинной, расположенной горизонтально теплоизолированной трубе между двумя одинаковыми поршнями (массой $\text{m}$ каждый) находится $\nu = 1$ моль одноатомного газа при температуре $T_0$. В начальный момент поршни сближаются, причем скорости поршней направлены в одну сторону и равны $3v$ и $\text{v}$. До какой наибольшей температуры $\text{T}$ нагреется газ? Массой газа по сравнению с массой поршней можно пренебречь. Поршни тепло не проводят. Трение пренебрежимо мало. Атмосферное давление можно не учитывать.

☑ $T = T_0 + \frac{2mv^2}{3\nu R}$

Решение. При сближении поршней происходит адиабатное сжатие газа. Оно, как известно, сопровождается нагреванием. Максимальная температура достигается при максимальном сжатии, т. е. в момент, когда поршни перестают сближаться. В этот момент их скорости $\text{u}$ одинаковы и могут быть определены из закона сохранения импульса: $3mv + mv = 2mu$, откуда $u = 2v$. При адиабатном сжатии сумма кинетической энергии поршней и внутренней энергии газа $\left(U = \frac{3}{2}\nu RT\right)$ остается постоянной:

$\frac{m(3v)^2}{2} + \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{2}\nu RT_0 = 2 \cdot \frac{m(2v)^2}{2} + \frac{3}{2}\nu RT$

Отсюда $T = T_0 + \frac{2mv^2}{3\nu R}$.

Решение.

Дано:

Масса каждого поршня: $m$

Количество вещества одноатомного газа: $\nu = 1$ моль

Начальная температура газа: $T_0$

Начальные скорости поршней: $v_1 = 3v$, $v_2 = v$ (направлены в одну сторону)

Найти:

Максимальную температуру газа $T$.

Решение:

Рассматриваемая система, состоящая из двух поршней и заключенного между ними газа, является замкнутой и теплоизолированной. Для такой системы выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Массой газа по сравнению с массой поршней можно пренебречь.

Максимальная температура газа достигается в момент его максимального сжатия. Это происходит, когда относительная скорость поршней становится равной нулю, то есть они движутся как единое целое с некоторой общей скоростью $u$.

1. Закон сохранения импульса.

Поскольку внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют, полный импульс системы (двух поршней) сохраняется. Приравняем импульс системы в начальный момент и в момент максимального сжатия:

$P_{\text{нач}} = P_{\text{кон}}$

$m \cdot (3v) + m \cdot v = (m+m) \cdot u$

$4mv = 2mu$

Отсюда находим скорость поршней в момент максимального сжатия:

$u = \frac{4mv}{2m} = 2v$

2. Закон сохранения энергии.

Так как система теплоизолирована и внешние силы не совершают работу, полная энергия системы, состоящая из кинетической энергии поршней и внутренней энергии газа, сохраняется. Внутренняя энергия $\nu$ молей одноатомного газа равна $U = \frac{3}{2}\nu RT$.

Полная энергия системы в начальный момент времени:

$E_{\text{нач}} = \text{KE}_{\text{нач}} + U_{\text{нач}} = \left(\frac{m(3v)^2}{2} + \frac{mv^2}{2}\right) + \frac{3}{2}\nu RT_0 = 5mv^2 + \frac{3}{2}\nu RT_0$

Полная энергия системы в момент максимального сжатия (при максимальной температуре $T$):

$E_{\text{кон}} = \text{KE}_{\text{кон}} + U_{\text{кон}} = \frac{(m+m)u^2}{2} + \frac{3}{2}\nu RT = mu^2 + \frac{3}{2}\nu RT$

Подставим в это выражение найденное значение $u = 2v$:

$E_{\text{кон}} = m(2v)^2 + \frac{3}{2}\nu RT = 4mv^2 + \frac{3}{2}\nu RT$

Приравняем начальную и конечную энергии:

$E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}$

$5mv^2 + \frac{3}{2}\nu RT_0 = 4mv^2 + \frac{3}{2}\nu RT$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить температуру $T$:

$\frac{3}{2}\nu RT - \frac{3}{2}\nu RT_0 = 5mv^2 - 4mv^2$

$\frac{3}{2}\nu R(T - T_0) = mv^2$

$T - T_0 = \frac{2mv^2}{3\nu R}$

$T = T_0 + \frac{2mv^2}{3\nu R}$

В условии задачи количество вещества обозначено как $v = 1$ моль (вместо стандартного $\nu$). Если использовать обозначение из условия, формула примет вид:

$T = T_0 + \frac{2mv^2}{3vR}$

Подставив значение $v=1$ моль, получим:

$T = T_0 + \frac{2mv^2}{3R}$

Ответ: $T = T_0 + \frac{2mv^2}{3R}$