Номер 17.8, страница 128 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 17.8, страница 128.

Условие.

17.8. Найдите работу $A'$, совершенную одним молем идеального газа за цикл (см. рисунок). Температуры газа в состояниях 1 и 3 равны соответственно $T_1$ и $T_3$, а точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

☑ $A' = \nu R (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$, где $\nu = 1$ моль.

Решение. Согласно уравнению Клапейрона $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} = \frac{p_3V_3}{T_3} = \frac{p_4V_4}{T_4}$. Из графика процесса следует, что $p_2 = p_3$, $p_4 = p_1$, $V_2 = V_1$, $V_4 = V_3$. Учитывая, что $T_4 = T_2$, приходим к системе двух уравнений $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_3V_1}{T_2}$, $\frac{p_3V_3}{T_3} = \frac{p_1V_3}{T_2}$. Перемножая почленно эти уравнения, получаем $T_1T_3 = T_2^2$. Отсюда следует, что $T_2 = T_4 = \sqrt{T_1T_3}$. Работа $A'$ равна площади прямоугольника (см. рисунок в условии): $A' = (p_2 - p_1) \times (V_3 - V_1)$. Раскрывая скобки в этом выражении и учитывая равенство давлений и объемов в некоторых из состояний 1-4, находим, что $A' = p_3V_3 - p_4V_4 - p_2V_2 + p_1V_1$. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, получаем $A' = \nu R(T_3 - T_4 - T_2 + T_1) = \nu R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$, где $\nu = 1$ моль.

Решение.

Дано:

Количество вещества идеального газа: $v = 1$ моль

Температура в состоянии 1: $T_1$

Температура в состоянии 3: $T_3$

Циклический процесс 1-2-3-4-1, показанный на p-V диаграмме.

Процесс 1-2: изохорный ($V = const$)

Процесс 2-3: изобарный ($p = const$)

Процесс 3-4: изохорный ($V = const$)

Процесс 4-1: изобарный ($p = const$)

Состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме, т.е. $T_2 = T_4$.

Найти:

Работу газа за цикл $A'$.

Решение:

Работа, совершаемая газом в циклическом процессе, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком этого процесса на диаграмме в координатах p-V. В данном случае цикл представляет собой прямоугольник.

Площадь этого прямоугольника можно рассчитать по формуле:

$A' = (p_2 - p_1) \cdot (V_3 - V_1)$

где $p_1 = p_4$, $p_2 = p_3$ — давления на изобарных участках, а $V_1 = V_2$, $V_3 = V_4$ — объемы на изохорных участках.

Раскроем скобки в выражении для работы:

$A' = p_2V_3 - p_2V_1 - p_1V_3 + p_1V_1$

Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = vRT$ для каждого из четырех состояний цикла:

1. Для состояния 1: $p_1V_1 = vRT_1$

2. Для состояния 2: $p_2V_2 = vRT_2$. Так как процесс 1-2 изохорный ($V_2 = V_1$), то $p_2V_1 = vRT_2$.

3. Для состояния 3: $p_3V_3 = vRT_3$. Так как процесс 2-3 изобарный ($p_3 = p_2$), то $p_2V_3 = vRT_3$.

4. Для состояния 4: $p_4V_4 = vRT_4$. Из графика следует, что $p_4 = p_1$ и $V_4 = V_3$, следовательно, $p_1V_3 = vRT_4$.

Подставим полученные выражения для произведений $pV$ в формулу для работы:

$A' = vRT_3 - vRT_2 - vRT_4 + vRT_1$

Согласно условию задачи, точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, что означает равенство их температур: $T_2 = T_4$. С учетом этого, формула для работы упрощается:

$A' = vR(T_1 + T_3 - 2T_2)$

Чтобы выразить работу через заданные температуры $T_1$ и $T_3$, необходимо найти температуру $T_2$. Для этого воспользуемся записанными ранее уравнениями состояния.

Разделим уравнение для состояния 2 на уравнение для состояния 1:

$\frac{p_2V_1}{p_1V_1} = \frac{vRT_2}{vRT_1} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Теперь разделим уравнение для состояния 3 на уравнение для состояния 4, учитывая, что $T_4 = T_2$:

$\frac{p_2V_3}{p_1V_3} = \frac{vRT_3}{vRT_2} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_3}{T_2}$

Мы получили два выражения для одного и того же отношения давлений $\frac{p_2}{p_1}$. Приравняем их правые части:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$

Из этого соотношения выразим $T_2$:

$T_2^2 = T_1T_3 \implies T_2 = \sqrt{T_1T_3}$

Температура $T_2$ является средним геометрическим температур $T_1$ и $T_3$.

Подставим найденное выражение для $T_2$ в формулу для работы $A'$:

$A' = vR(T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1T_3})$

Заметим, что выражение в скобках представляет собой формулу полного квадрата разности: $a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$. Если положить $a = \sqrt{T_3}$ и $b = \sqrt{T_1}$, то получим:

$T_3 - 2\sqrt{T_1T_3} + T_1 = (\sqrt{T_3})^2 - 2\sqrt{T_3}\sqrt{T_1} + (\sqrt{T_1})^2 = (\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$

Таким образом, окончательное выражение для работы, совершенной газом за цикл, имеет вид:

$A' = vR(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$

Ответ: $A' = vR(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.