Номер 17.5, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Термодинамика. 17. Законы термодинамики. Упражнения - номер 17.5, страница 127.

Условие.

17.5. Докажите, что молярные теплоемкости* идеального газа при постоянном давлении $C_p$ и при постоянном объеме $C_v$ связаны соотношением $C_p - C_v = R$, где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Решение. Согласно определению, молярная теплоемкость $C = Q/(\nu\Delta T)$, где $\nu$ — количество вещества. При изохорном нагревании газ не совершает работы, поэтому согласно первому закону термодинамики $Q_v = \Delta U$. Следовательно, $C_v = \frac{\Delta U}{\nu\Delta T}$. При изобарном нагревании $Q_p = Q_v + A'$, причем работа газа $A' = p\Delta V$. Как следует из уравнения Менделеева–Клапейрона, $p\Delta V = \nu R\Delta T$, поэтому $Q_p = \Delta U + \nu R\Delta T$ и $C_p = \frac{\Delta U}{\nu\Delta T} + R$. Следовательно, $C_p - C_v = R$.

Решение.

17.5. Решение:

Для доказательства соотношения $C_p - C_v = R$, которое связывает молярные теплоемкости идеального газа при постоянном давлении ($C_p$) и постоянном объеме ($C_v$), воспользуемся первым законом термодинамики и уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева–Клапейрона).

По определению, молярная теплоемкость $C$ – это количество теплоты $Q$, которое необходимо сообщить одному молю вещества ($\nu=1$ моль) для повышения его температуры на один кельвин ($\Delta T=1$ К). В общем виде:

$C = \frac{Q}{\nu \Delta T}$

Рассмотрим два процесса для одного и того же количества идеального газа ($\nu$) при одинаковом изменении температуры ($\Delta T$).

1. Изохорный процесс ($V = const$)

При нагревании газа в замкнутом объеме он не совершает работы ($A'=0$), так как $\Delta V=0$. Согласно первому закону термодинамики, все подводимое количество теплоты $Q_V$ идет на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$:

$Q_V = \Delta U + A' = \Delta U$

Тогда молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V$ равна:

$C_V = \frac{Q_V}{\nu \Delta T} = \frac{\Delta U}{\nu \Delta T}$

2. Изобарный процесс ($p = const$)

При нагревании газа при постоянном давлении он расширяется и совершает работу $A'$. Согласно первому закону термодинамики, подводимое количество теплоты $Q_p$ расходуется и на изменение внутренней энергии $\Delta U$, и на совершение работы $A'$:

$Q_p = \Delta U + A'$

Работа, совершаемая газом при изобарном процессе, вычисляется по формуле $A' = p \Delta V$. Следовательно:

$Q_p = \Delta U + p \Delta V$

Молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p$ равна:

$C_p = \frac{Q_p}{\nu \Delta T} = \frac{\Delta U + p \Delta V}{\nu \Delta T} = \frac{\Delta U}{\nu \Delta T} + \frac{p \Delta V}{\nu \Delta T}$

Важно, что для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры. Поэтому при одинаковом изменении температуры $\Delta T$ изменение внутренней энергии $\Delta U$ будет одинаковым как в изохорном, так и в изобарном процессе. Это позволяет нам заменить первое слагаемое в выражении для $C_p$ на $C_V$:

$C_p = C_V + \frac{p \Delta V}{\nu \Delta T}$

Теперь преобразуем второе слагаемое, используя уравнение Менделеева–Клапейрона: $pV = \nu RT$. Для изобарного процесса ($p=const$) изменение объема $\Delta V$ при изменении температуры $\Delta T$ описывается как $p\Delta V = \nu R \Delta T$. Подставим это выражение:

$\frac{p \Delta V}{\nu \Delta T} = \frac{\nu R \Delta T}{\nu \Delta T} = R$

Подставив $R$ вместо второго слагаемого в уравнение для $C_p$, получаем:

$C_p = C_V + R$

Перенося $C_V$ в левую часть, мы приходим к искомому соотношению, известному как уравнение Майера:

$C_p - C_V = R$

Это доказывает, что молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении всегда больше молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину универсальной газовой постоянной, так как при изобарном процессе часть тепла расходуется на совершение работы.

Ответ: Соотношение $C_p - C_V = R$ доказано.